ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 704 Алимов — Подробные Ответы

Определить, является ли данная функция чётной или нечетной:

1. y=(1-cosx)/(1+cosx);
2. y=корень sin2x/(1+cos2x);
3. (cos2x — x2)/sinx;
4. (x3+sin2x)/cos;
5. y=3cosx;
6. y=x|sinx|sin3x.

$\mathrm{1.\; y}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}={\mathrm{tg}}^2\frac{x}{2};$

$$y(-x)={\mathrm{tg}}^2(-\frac{x}{2})={(-\mathrm{tg}\frac{x}{2})}^2={\mathrm{tg}}^2\frac{x}{2}=y(x);$$

Ответ: четная.

$\mathrm{2.\; y}=\frac{\sqrt{{\sin }^{2}x}}{1+\cos 2x};$

$$y(-x)=\frac{\sqrt{{\sin }^2(-x)}}{1+\cos (-2x)}=\frac{\sqrt{(-\sin x{)}^2}}{1+\cos 2x}=\frac{\sqrt{{\sin }^{2}x}}{1+\cos 2x}=y(x);$$

Ответ: четная.

$\mathrm{3.\; y}=\frac{\cos 2x-x^2}{\sin x};$

$$y(-x)=\frac{\cos (-2x)-(-x{)}^2}{\sin (-x)}=\frac{\cos 2x-x^2}{-\sin x}=-\frac{\cos 2x-x^2}{\sin x}=-y(x);$$

Ответ: нечетная.

$\mathrm{4.\; y}=\frac{x^3+\sin 2x}{\cos x};$

$$y(-x)=\frac{(-x{)}^3+\sin (-2x)}{\cos (-x)}=\frac{-x^3-\sin 2x}{\cos x}=-\frac{x^3+\sin 2x}{\cos x}=-y(x);$$

Ответ: нечетная.

$\mathrm{5.\; y}=3^{\cos x};$

$$y(-x)=3^{\cos (-x)}=3^{\cos x}=y(x);$$

Ответ: четная.

$\mathrm{6.\; y}=x\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }\cdot {\sin }^{3}x;$

$$y(-x)=-x\cdot \mathrm{\mid }\sin (-x)\mathrm{\mid }\cdot {\sin }^3(-x)=-x\cdot \mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}-\sin x\mathrm{\mid }\cdot (-{\sin }^{3}x)=$$

$$=x\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }\cdot {\sin }^{3}x=y(x);$$

Ответ: четная.

Определения:

• Функция $y(x)$ называется чётной, если для всех $x$ из области определения

$$y(-x)=y(x)\mathrm{.}$$

• Функция называется нечётной, если для всех $x$

$$y(-x)=-y(x)\mathrm{.}$$

• Если ни одно из этих условий не выполняется, функция — ни чётная, ни нечётная.

1) $y=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}={\mathrm{tg}}^2\frac{x}{2}$

Шаг 1: Представим $y$ в виде квадратного тангенса половинного угла, используя формулу:

$$\frac{1-\cos x}{1+\cos x}={\tan }^2\frac{x}{2}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Найдём $y(-x)$:

$$y(-x)={\tan }^2(-\frac{x}{2})\mathrm{.}$$

Шаг 3: Используем свойство тангенса:

$$\tan (-\theta )=-\tan \theta \mathrm{.}$$

Шаг 4: Тогда

$${\tan }^2(-\frac{x}{2})={(-\tan \frac{x}{2})}^2={\tan }^2\frac{x}{2}=y(x)\mathrm{.}$$

Вывод: функция $y$ чётная.

2) $y=\frac{\sqrt{{\sin }^{2}x}}{1+\cos 2x}$

Шаг 1: Заметим, что $\sqrt{{\sin }^{2}x}=\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }$.

Шаг 2: Найдём $y(-x)$:

$$y(-x)=\frac{\sqrt{{\sin }^2(-x)}}{1+\cos (-2x)}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Свойства:

$$\sin (-x)=-\sin x⟹{\sin }^2(-x)={\sin }^{2}x,$$$$\cos (-2x)=\cos 2x\mathrm{.}$$

Шаг 4: Значит,

$$y(-x)=\frac{\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }}{1+\cos 2x}=y(x)\mathrm{.}$$

Вывод: функция $y$ чётная.

3) $y=\frac{\cos 2x-x^2}{\sin x}$

Шаг 1: Найдём $y(-x)$:

$$y(-x)=\frac{\cos (-2x)-(-x{)}^2}{\sin (-x)}=\frac{\cos 2x-x^2}{-\sin x}=-\frac{\cos 2x-x^2}{\sin x}=-y(x)\mathrm{.}$$

Вывод: функция $y$ нечётная.

4) $y=\frac{x^3+\sin 2x}{\cos x}$

Шаг 1: Найдём $y(-x)$:

$$y(-x)=\frac{(-x{)}^3+\sin (-2x)}{\cos (-x)}=\frac{-x^3-\sin 2x}{\cos x}=-\frac{x^3+\sin 2x}{\cos x}=-y(x)\mathrm{.}$$

Вывод: функция $y$ нечётная.

5) $y=3^{\cos x}$

Шаг 1: Найдём $y(-x)$:

$$y(-x)=3^{\cos (-x)}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Свойство косинуса:

$$\cos (-x)=\cos x,$$

значит

$$y(-x)=3^{\cos x}=y(x)\mathrm{.}$$

Вывод: функция $y$ чётная.

6) $y=x\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }\cdot {\sin }^{3}x$

Шаг 1: Найдём $y(-x)$:

$$y(-x)=(-x)\cdot \mathrm{\mid }\sin (-x)\mathrm{\mid }\cdot {\sin }^3(-x)\mathrm{.}$$

Шаг 2: Свойства:

$$\mathrm{\mid }\sin (-x)\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid },$$$$\sin (-x)=-\sin x⟹{\sin }^3(-x)=(-\sin x{)}^3=-{\sin }^{3}x\mathrm{.}$$

Шаг 3: Подставляем:

$$y(-x)=-x\cdot \mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }\cdot (-{\sin }^{3}x)=x\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }\cdot {\sin }^{3}x=y(x)\mathrm{.}$$

Вывод: функция $y$ чётная.