ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 223 Алимов — Подробные Ответы

1. 8*4x — 6*2x+1=0;
2. (1/4)x+(1/2)x -6 -0;
3. 13^(2x+1) -13x -12=0;
4. 3^(2x+1) — 10*3x+3=0;
5. 2^3x+8*2x-6*2^2x=0;
6. 5^(3x+1) +34 * 5^2x — 7 *5x =0.

1)

$$8 \cdot 4^x — 6 \cdot 2^x + 1 = 0;$$ $$8 \cdot 2^{2x} — 6 \cdot 2^x + 1 = 0;$$

Пусть $y = 2^x$, тогда:

$$8y^2 — 6y + 1 = 0;$$ $$D = 6^2 — 4 \cdot 8 \cdot 1 = 36 — 32 = 4;$$

тогда:

$$y_1 = \frac{6 — 2}{2 \cdot 8} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4};$$ $$y_2 = \frac{6 + 2}{2 \cdot 8} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2};$$

Первое значение:

$$2^x = \frac{1}{4};$$ $$2^x = 2^{-2}, \text{отсюда } x = -2;$$

Второе значение:

$$2^x = \frac{1}{2};$$ $$2^x = 2^{-1}, \text{отсюда } x = -1;$$

Ответ: $x_1 = -2; \, x_2 = -1$.

2)

$$\left(\frac{1}{4}\right)^x + \left(\frac{1}{2}\right)^x — 6 = 0;$$ $$\left(\frac{1}{2}\right)^{2x} + \left(\frac{1}{2}\right)^x — 6 = 0;$$

Пусть $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$, тогда:

$$y^2 + y — 6 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25;$$

тогда:

$$y_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2;$$

Первое значение:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^x = -3 \quad \text{— нет корней};$$

Второе значение:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^x = 2;$$ $$\left(\frac{1}{2}\right)^x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}, \text{отсюда } x = -1;$$

Ответ: $x = -1$.

3)

$$13^{2x+1} — 13^x — 12 = 0;$$ $$13 \cdot 13^{2x} — 13^x — 12 = 0;$$

Пусть $y = 13^x$, тогда:

$$13y^2 — y — 12 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 13 \cdot 12 = 1 + 624 = 625;$$

тогда:

$$y_1 = \frac{1 — 25}{2 \cdot 13} = \frac{-24}{26} = -\frac{12}{13};$$ $$y_2 = \frac{1 + 25}{2 \cdot 13} = \frac{26}{26} = 1;$$

Первое значение:

$$13^x = -\frac{12}{13} \quad \text{— нет корней};$$

Второе значение:

$$13^x = 1;$$ $$13^x = 13^0, \text{отсюда } x = 0;$$

Ответ: $x = 0$.

4)

$$3^{2x+1} — 10 \cdot 3^x + 3 = 0;$$ $$3 \cdot 3^{2x} — 10 \cdot 3^x + 3 = 0;$$

Пусть $y = 3^x$, тогда:

$$3y^2 — 10y + 3 = 0;$$ $$D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64;$$

тогда:

$$y_1 = \frac{10 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};$$ $$y_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3;$$

Первое значение:

$$3^x = \frac{1}{3};$$ $$3^x = 3^{-1}, \text{отсюда } x = -1;$$

Второе значение:

$$3^x = 3;$$ $$3^x = 3^1, \text{отсюда } x = 1;$$

Ответ: $x = \pm 1$.

5)

$$2^{3x} + 8 \cdot 2^x — 6 \cdot 2^{2x} = 0;$$ $$2^x \cdot (2^{2x} + 8 — 6 \cdot 2^x) = 0;$$ $$2^{2x} — 6 \cdot 2^x + 8 = 0;$$

Пусть $y = 2^x$, тогда:

$$y^2 — 6y + 8 = 0;$$ $$D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4;$$

тогда:

$$y_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4;$$

Первое значение:

$$2^x = 2;$$ $$2^x = 2^1, \text{отсюда } x = 1;$$

Второе значение:

$$2^x = 4;$$ $$2^x = 2^2, \text{отсюда } x = 2;$$

Ответ: $x_1 = 1; \, x_2 = 2$.

6)

$$5^{3x+1} + 34 \cdot 5^{2x} — 7 \cdot 5^x = 0;$$ $$5^x \cdot (5^{2x+1} + 34 \cdot 5^x — 7) = 0;$$ $$5 \cdot 5^{2x} + 34 \cdot 5^x — 7 = 0;$$

Пусть $y = 5^x$, тогда:

$$5y^2 + 34y — 7 = 0;$$ $$D = 34^2 + 4 \cdot 5 \cdot 7 = 1156 + 140 = 1296;$$

тогда:

$$y_1 = \frac{-34 — 36}{2 \cdot 5} = \frac{-70}{10} = -7;$$ $$y_2 = \frac{-34 + 36}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5};$$

Первое значение:

$$5^x = -7 \quad \text{— нет корней};$$

Второе значение:

$$5^x = \frac{1}{5};$$ $$5^x = 5^{-1}, \text{отсюда } x = -1;$$

Ответ: $x = -1$.

1) Решение уравнения:

$$8 \cdot 4^x — 6 \cdot 2^x + 1 = 0$$

Шаг 1: Преобразование степеней

Так как $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$, заменим:

$$8 \cdot 2^{2x} — 6 \cdot 2^x + 1 = 0$$

Шаг 2: Введение новой переменной

Обозначим $y = 2^x$, тогда $2^{2x} = y^2$, получаем квадратное уравнение:

$$8y^2 — 6y + 1 = 0$$

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Дискриминант:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 8 \cdot 1 = 36 — 32 = 4$$

Корни:

$$y_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 8} = \frac{6 \pm 2}{16}$$

Вычислим отдельно:

$$y_1 = \frac{6 — 2}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$$ $$y_2 = \frac{6 + 2}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$$

Шаг 4: Найдём $x$

$2^x = \frac{1}{4}$, тогда:

$$2^x = 2^{-2} \Rightarrow x = -2$$

$2^x = \frac{1}{2}$, тогда:

$$2^x = 2^{-1} \Rightarrow x = -1$$

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = -1$.

2) Решение уравнения:

$$\left(\frac{1}{4}\right)^x + \left(\frac{1}{2}\right)^x — 6 = 0$$

Шаг 1: Перепишем степени

Так как $\left(\frac{1}{4}\right)^x = (4^{-1})^x = 4^{-x} = (2^2)^{-x} = 2^{-2x}$, а $\left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$, уравнение переписываем:

$$2^{-2x} + 2^{-x} — 6 = 0$$

Шаг 2: Замена переменной

Обозначим $y = 2^{-x}$, тогда $2^{-2x} = y^2$. Получаем квадратное уравнение:

$$y^2 + y — 6 = 0$$

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$

Корни:

$$y_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3, \quad y_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$$

Первый корень $y_1 = -3$ отвергается, так как степени двойки всегда положительны.

Шаг 4: Найдём $x$

$$2^{-x} = 2 \Rightarrow -x = 1 \Rightarrow x = -1$$

Ответ: $x = -1$.

3) Решение уравнения

$$13^{2x+1} — 13^x — 12 = 0$$

Шаг 1: Преобразование степени

Разделим на множители:

$$13 \cdot 13^{2x} — 13^x — 12 = 0$$

Шаг 2: Замена переменной

Обозначим $y = 13^x$, тогда $13^{2x} = y^2$. Получаем квадратное уравнение:

$$13y^2 — y — 12 = 0$$

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 13 \cdot (-12) = 1 + 624 = 625$$

Корни:

$$y_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{625}}{2 \cdot 13} = \frac{1 \pm 25}{26}$$

Вычислим отдельно:

$$y_1 = \frac{1 — 25}{26} = \frac{-24}{26} = -\frac{12}{13}$$ $$y_2 = \frac{1 + 25}{26} = \frac{26}{26} = 1$$

Шаг 4: Найдём $x$

$y_1 = -\frac{12}{13}$ не подходит, так как степень 13 всегда положительна.

$y_2 = 1$, тогда:

$$13^x = 13^0 \Rightarrow x = 0$$

Ответ: $x = 0$.

4) Решение уравнения

$$3^{2x+1} — 10 \cdot 3^x + 3 = 0$$

Шаг 1: Преобразование степени

$$3 \cdot 3^{2x} — 10 \cdot 3^x + 3 = 0$$

Шаг 2: Замена переменной

Обозначим $y = 3^x$, тогда $3^{2x} = y^2$. Получаем квадратное уравнение:

$$3y^2 — 10y + 3 = 0$$

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Дискриминант:

$$D = (-10)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64$$

Корни:

$$y_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$$

Вычислим отдельно:

$$y_1 = \frac{10 — 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ $$y_2 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$$

Шаг 4: Найдём $x$

$3^x = \frac{1}{3}$, тогда:

$$3^x = 3^{-1} \Rightarrow x = -1$$

$3^x = 3$, тогда:

$$3^x = 3^1 \Rightarrow x = 1$$

Ответ: $x = -1, x = 1$.

5) Решение уравнения

$$2^{3x} + 8 \cdot 2^x — 6 \cdot 2^{2x} = 0$$

Шаг 1: Преобразование степени

$$2^x \cdot (2^{2x} — 6 \cdot 2^x + 8) = 0$$

Так как $2^x \neq 0$, решаем квадратное уравнение:

$$2^{2x} — 6 \cdot 2^x + 8 = 0$$

Шаг 2: Замена переменной

Обозначим $y = 2^x$, тогда $2^{2x} = y^2$. Получаем квадратное уравнение:

$$y^2 — 6y + 8 = 0$$

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Дискриминант:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$$

Корни:

$$y_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}$$

Вычислим отдельно:

$$y_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4$$

Шаг 4: Найдём $x$

$2^x = 2$, тогда:

$$2^x = 2^1 \Rightarrow x = 1$$

$2^x = 4$, тогда:

$$2^x = 2^2 \Rightarrow x = 2$$

Ответ: $x = 1, x = 2$.

6) Решение уравнения

$$5^{3x+1} + 34 \cdot 5^{2x} — 7 \cdot 5^x = 0$$

Шаг 1: Преобразование степени

$$5^x \cdot (5^{2x+1} + 34 \cdot 5^x — 7) = 0$$

Так как $5^x \neq 0$, решаем квадратное уравнение:

$$5 \cdot 5^{2x} + 34 \cdot 5^x — 7 = 0$$

Шаг 2: Замена переменной

Обозначим $y = 5^x$, тогда $5^{2x} = y^2$. Получаем квадратное уравнение:

$$5y^2 + 34y — 7 = 0$$

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Дискриминант:

$$D = 34^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-7) = 1156 + 140 = 1296$$

Корни:

$$y_{1,2} = \frac{-34 \pm \sqrt{1296}}{2 \cdot 5} = \frac{-34 \pm 36}{10}$$

Вычислим отдельно:

$$y_1 = \frac{-34 — 36}{10} = \frac{-70}{10} = -7$$ $$y_2 = \frac{-34 + 36}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$

Шаг 4: Найдём $x$

$y_1 = -7$ не подходит (степень 5 всегда положительна).

$y_2 = \frac{1}{5}$, тогда:

$$5^x = 5^{-1} \Rightarrow x = -1$$

Ответ: $x = -1$.