ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1484 Алимов — Подробные Ответы

Найти область определения функции (1484—1487).

1. y=2x+lg(6-3x);
2. y=3^-x- 2ln(2x+4);
3. y=tgx/4.

$y = 2^x + \lg(6 — 3x)$;

Выражение имеет смысл при:
$6 — 3x > 0;$
$-3x > -6;$
$3x < 6;$
$x < 2.$

Ответ: $x < 2$.

$y = 3^{-x} — 2\ln(2x + 4)$;

Выражение имеет смысл при:
$2x + 4 > 0;$
$2x > -4;$
$x > -2;$

Ответ: $x > -2$.

$y = \operatorname{tg} \frac{x}{4} = \frac{\sin \frac{x}{4}}{\cos \frac{x}{4}}$;

Выражение имеет смысл при:
$\cos \frac{x}{4} \neq 0;$
$\frac{x}{4} \neq \arccos 0 + \pi n \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$
$x \neq 4 \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \neq 2\pi + 4\pi n;$

Ответ: $x \neq 2\pi + 4\pi n$.

Задача 1

Дано выражение:

$$y = 2^x + \lg(6 — 3x)$$

Чтобы найти, при каких значениях $x$ это выражение имеет смысл, необходимо исследовать оба компонента выражения.

Первая часть выражения — $2^x$:

• Экспоненциальная функция $2^x$ определена для всех значений $x \in \mathbb{R}$, так что никаких ограничений на $x$ по этой части нет.

Вторая часть выражения — $\lg(6 — 3x)$:

• Логарифм определен, если его аргумент строго положителен:

$$6 — 3x > 0$$

• Решим неравенство:

$$6 > 3x$$

Разделим обе части на 3:

$$x < 2$$

Ответ: Чтобы выражение $y = 2^x + \lg(6 — 3x)$ имело смысл, необходимо, чтобы $x < 2$.

Задача 2

Дано выражение:

$$y = 3^{-x} — 2\ln(2x + 4)$$

Для нахождения области определения выражения, снова нужно проанализировать оба компонента.

Первая часть выражения — $3^{-x}$:

• Эта функция является степенной и определена для всех значений $x \in \mathbb{R}$, так что ограничений по $x$ здесь нет.

Вторая часть выражения — $\ln(2x + 4)$:

• Логарифм определен, если его аргумент строго положителен:

$$2x + 4 > 0$$

• Решим неравенство:

$$2x > -4$$

Разделим обе части на 2:

$$x > -2$$

Ответ: Чтобы выражение $y = 3^{-x} — 2\ln(2x + 4)$ имело смысл, необходимо, чтобы $x > -2$.

Задача 3

Дано выражение:

$$y = \operatorname{tg} \frac{x}{4} = \frac{\sin \frac{x}{4}}{\cos \frac{x}{4}}$$

Функция тангенс ($\operatorname{tg}$) имеет особенности в тех точках, где косинус в знаменателе равен нулю, потому что деление на ноль не определено. Необходимо найти, при каких значениях $x$ косинус в выражении $\frac{x}{4}$ равен нулю.

Для того чтобы $\frac{x}{4}$ было таким, что косинус в нем равен нулю, нужно, чтобы:

$$\cos \frac{x}{4} = 0$$

Косинус равен нулю при:

$$\frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

где $n \in \mathbb{Z}$ — целое число. Теперь умножим обе части на 4:

$$x = 2\pi + 4\pi n$$

Это означает, что выражение $\operatorname{tg} \frac{x}{4}$ не определено для значений $x = 2\pi + 4\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Ответ: Выражение $y = \operatorname{tg} \frac{x}{4}$ имеет смысл при условии, что $x \neq 2\pi + 4\pi n$.

Итоги:

1. Для выражения $y = 2^x + \lg(6 — 3x)$ область определения: $x < 2$.
2. Для выражения $y = 3^{-x} — 2\ln(2x + 4)$ область определения: $x > -2$.
3. Для выражения $y = \operatorname{tg} \frac{x}{4}$ область определения: $x \neq 2\pi + 4\pi n$, где $n$ — целое число.