ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 512 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение:

1. sin 2х — 2 cos х = 0;
2. cos 2x + sin2 x = 1;
3. 4 cos х = sin 2x;
4. sin2 x = -cos 2x;
5. sin x/2 cos x/2 + 1/2 = 0;
6. cos2 x/2 = sin2 x/2.

1. $\sin 2x — 2 \cos x = 0$;
   $2 \sin x \cos x — 2 \cos x = 0$;
   $2 \cos x (\sin x — 1) = 0$;

   Первое уравнение:
   $2 \cos x = 0$;
   $\cos x = 0$;
   $x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

   Второе уравнение:
   $\sin x — 1 = 0$;
   $\sin x = 1$;
   $x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$;

   Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

2. $\cos 2x + \sin^2 x = 1$;
   $\cos^2 x — \sin^2 x + \sin^2 x = 1$;
   $\cos^2 x = 1$;
   $\cos x = \pm 1$;
   $x_1 = \pi — \arccos 1 + 2\pi n = \pi + 2\pi n$;
   $x_2 = \arccos 1 + 2\pi n = 2\pi n$;

   Ответ: $\pi n$.

3. $4 \cos x = \sin 2x$;
   $4 \cos x — \sin 2x = 0$;
   $4 \cos x — 2 \sin x \cdot \cos x = 0$;
   $2 \cos x (2 — \sin x) = 0$;

   Первое уравнение:
   $2 \cos x = 0$;
   $\cos x = 0$;
   $x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

   Второе уравнение:
   $2 — \sin x = 0$;
   $\sin x = 2$ — корней нет;

   Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

4. $\sin^2 x = -\cos 2x$;
   $\sin^2 x + \cos 2x = 0$;
   $\sin^2 x + \cos^2 x — \sin^2 x = 0$;
   $\cos^2 x = 0$;
   $\cos x = 0$;
   $x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

   Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

5. $\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \frac{1}{2} = 0$;
   $\frac{1}{2} \cdot 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \frac{1}{2} = 0$;
   $\frac{1}{2} \sin \left( 2 \cdot \frac{x}{2} \right) + \frac{1}{2} = 0$;
   $\frac{1}{2} \sin x = -\frac{1}{2}$;
   $\sin x = -1$;
   $x = -\arcsin 1 + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$;

   Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

6. $\cos^2 \frac{x}{2} = \sin^2 \frac{x}{2}$;
   $\cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2} = 0$;
   $\cos \left( 2 \cdot \frac{x}{2} \right) = 0$;
   $\cos x = 0$;
   $x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

   Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

1) Уравнение

$$\sin 2x — 2 \cos x = 0.$$

Шаг 1.1: Распишем $\sin 2x$ через формулу двойного угла:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x.$$

Подставим:

$$2 \sin x \cos x — 2 \cos x = 0.$$

Шаг 1.2: Вынесем общий множитель $2 \cos x$:

$$2 \cos x (\sin x — 1) = 0.$$

Шаг 1.3: Чтобы произведение равно нулю, равен нулю хотя бы один из множителей:

• Либо

$$2 \cos x = 0 \implies \cos x = 0,$$

• Либо

$$\sin x — 1 = 0 \implies \sin x = 1.$$

Шаг 1.4: Решим каждое уравнение.

• Уравнение $\cos x = 0$:

$$x = \arccos 0 + \pi n.$$

Поскольку $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$, то

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

• Уравнение $\sin x = 1$:

$$x = \arcsin 1 + 2 \pi n.$$

Поскольку $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$, то

$$x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Шаг 1.5: Ответы:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n,$$

поскольку все решения второго уравнения входят в множество решений первого (каждый второй член).

2) Уравнение

$$\cos 2x + \sin^2 x = 1.$$

Шаг 2.1: Используем формулу для $\cos 2x$:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x.$$

Подставим:

$$\cos^2 x — \sin^2 x + \sin^2 x = 1.$$

Шаг 2.2: Упростим:

$$\cos^2 x = 1.$$

Шаг 2.3: Решаем:

$$\cos x = \pm 1.$$

Шаг 2.4: Решения для $\cos x = 1$:

$$x = 2 \pi n.$$

Для $\cos x = -1$:

$$x = \pi + 2 \pi n.$$

Шаг 2.5: Объединяем:

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

3) Уравнение

$$4 \cos x = \sin 2x.$$

Шаг 3.1: Запишем уравнение в виде:

$$4 \cos x — \sin 2x = 0.$$

Шаг 3.2: Распишем $\sin 2x$:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x.$$

Подставим:

$$4 \cos x — 2 \sin x \cos x = 0.$$

Шаг 3.3: Вынесем общий множитель $2 \cos x$:

$$2 \cos x (2 — \sin x) = 0.$$

Шаг 3.4: Решаем:

• $2 \cos x = 0 \implies \cos x = 0$,
• $2 — \sin x = 0 \implies \sin x = 2$.

Шаг 3.5: Значение $\sin x = 2$ невозможно, так как синус принимает значения только в интервале $[-1,1]$.

Шаг 3.6: Решаем $\cos x = 0$:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Шаг 3.7: Итог:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

4) Уравнение

$$\sin^2 x = -\cos 2x.$$

Шаг 4.1: Перенесём все в одну сторону:

$$\sin^2 x + \cos 2x = 0.$$

Шаг 4.2: Используем формулу $\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$:

$$\sin^2 x + \cos^2 x — \sin^2 x = 0.$$

Шаг 4.3: Упростим:

$$\cos^2 x = 0.$$

Шаг 4.4: Решаем:

$$\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

5) Уравнение

$$\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \frac{1}{2} = 0.$$

Шаг 5.1: Заметим формулу двойного угла для синуса:

$$\sin y \cos y = \frac{1}{2} \sin 2y.$$

Для $y = \frac{x}{2}$:

$$\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \sin x.$$

Шаг 5.2: Подставим:

$$\frac{1}{2} \sin x + \frac{1}{2} = 0.$$

Шаг 5.3: Умножим на 2:

$$\sin x + 1 = 0.$$

Шаг 5.4: Решаем:

$$\sin x = -1.$$

Шаг 5.5: Решение:

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2 \pi n.$$

6) Уравнение

$$\cos^2 \frac{x}{2} = \sin^2 \frac{x}{2}.$$

Шаг 6.1: Перенесём в одну сторону:

$$\cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2} = 0.$$

Шаг 6.2: Используем формулу косинуса двойного угла:

$$\cos 2y = \cos^2 y — \sin^2 y.$$

Для $y = \frac{x}{2}$:

$$\cos x = 0.$$

Шаг 6.3: Решаем:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n.$$