ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 566 Алимов — Подробные Ответы

Доказать тождество (566—567).

sin2a+cos(пи/3-a)cos(пи/3 + a)=1/4.

$$\sin^2 a + \cos\left(\frac{\pi}{3} — a\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3} + a\right) = \frac{1}{4};$$ $$\sin^2 a + \frac{1}{2} \cdot \left( \cos\left(\frac{\pi}{3} — a + \frac{\pi}{3} + a\right) + \cos\left(\frac{\pi}{3} — a — \frac{\pi}{3} — a\right) \right) = \frac{1}{4};$$ $$\sin^2 a + \frac{1}{2} \cdot \left( \cos\frac{2\pi}{3} + \cos 2a \right) = \frac{1}{4};$$ $$\sin^2 a + \frac{1}{2} \cdot \left( \cos\left(\pi — \frac{\pi}{3}\right) + \cos 2a \right) = \frac{1}{4};$$ $$\sin^2 a + \frac{1}{2} \cdot \left( -\cos\frac{\pi}{3} + \cos 2a \right) = \frac{1}{4};$$ $$\sin^2 a — \frac{1}{2} \cos\frac{\pi}{3} + \frac{1}{2} \cos 2a = \frac{1}{4};$$ $$\sin^2 a — \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (\cos^2 a — \sin^2 a) = \frac{1}{4};$$ $$\sin^2 a — \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos^2 a — \frac{1}{2} \sin^2 a = \frac{1}{4};$$ $$\frac{1}{2} \cos^2 a + \frac{1}{2} \sin^2 a — \frac{1}{4} = \frac{1}{4};$$ $$\frac{1}{2} (\cos^2 a + \sin^2 a) — \frac{1}{4} = \frac{1}{4};$$ $$\frac{1}{2} — \frac{1}{4} = \frac{1}{4};$$ $$\frac{1}{4} = \frac{1}{4};$$

Тождество доказано.

Рассмотрим выражение:

$$\sin^2 a + \cos\left(\frac{\pi}{3} — a\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3} + a\right)$$

и докажем, что оно тождественно равно $\frac{1}{4}$ при любом значении $a$. Проведём максимально подробное пошаговое преобразование:

Шаг 1: Используем формулу для произведения косинусов

Напомним формулу:

$$\cos x \cdot \cos y = \frac{1}{2} \left( \cos(x — y) + \cos(x + y) \right)$$

Применим её к:

$$\cos\left(\frac{\pi}{3} — a\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3} + a\right)$$

Здесь:

• $x = \frac{\pi}{3} — a$
• $y = \frac{\pi}{3} + a$

Шаг 2: Подставим в формулу

$$\cos\left(\frac{\pi}{3} — a\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3} + a\right) = \frac{1}{2} \left( \cos\left[(\frac{\pi}{3} — a) — (\frac{\pi}{3} + a)\right] + \cos\left[(\frac{\pi}{3} — a) + (\frac{\pi}{3} + a)\right] \right)$$

Вычислим аргументы:

• $(\frac{\pi}{3} — a) — (\frac{\pi}{3} + a) = -2a$
• $(\frac{\pi}{3} — a) + (\frac{\pi}{3} + a) = \frac{2\pi}{3}$

Подставим обратно:

$$= \frac{1}{2} \left( \cos(-2a) + \cos\left(\frac{2\pi}{3} \right) \right)$$

Шаг 3: Учитываем чётность косинуса

$$\cos(-2a) = \cos 2a$$

Так как косинус — чётная функция. Тогда:

$$\cos\left(\frac{\pi}{3} — a\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3} + a\right) = \frac{1}{2} \left( \cos 2a + \cos\left(\frac{2\pi}{3} \right) \right)$$

Шаг 4: Найдём значение $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$

$$\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi — \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$$

Шаг 5: Подставим обратно

$$\cos\left(\frac{\pi}{3} — a\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3} + a\right) = \frac{1}{2} \left( \cos 2a — \frac{1}{2} \right)$$

Шаг 6: Подставим это в исходное выражение

$$\sin^2 a + \left( \frac{1}{2} \cos 2a — \frac{1}{4} \right)$$

Шаг 7: Объединяем

$$= \sin^2 a — \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos 2a$$

Шаг 8: Используем формулу косинуса двойного угла

$$\cos 2a = \cos^2 a — \sin^2 a$$

Подставим:

$$\sin^2 a — \frac{1}{4} + \frac{1}{2} (\cos^2 a — \sin^2 a)$$

Шаг 9: Раскроем скобки

$$= \sin^2 a — \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos^2 a — \frac{1}{2} \sin^2 a$$

Сгруппируем:

$$= \left( \sin^2 a — \frac{1}{2} \sin^2 a \right) + \frac{1}{2} \cos^2 a — \frac{1}{4}$$ $$= \frac{1}{2} \sin^2 a + \frac{1}{2} \cos^2 a — \frac{1}{4}$$

Шаг 10: Вынесем общий множитель

$$= \frac{1}{2} (\sin^2 a + \cos^2 a) — \frac{1}{4}$$

Шаг 11: Используем основное тригонометрическое тождество

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

Подставим:

$$= \frac{1}{2} \cdot 1 — \frac{1}{4} = \frac{1}{2} — \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$$

Ответ:

$$\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$$

Тождество доказано.