ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 622 Алимов — Подробные Ответы

1. tg2 x = 2;
2. tg x = ctg x;
3. tg2 x-3tgx-4 = 0;
4. tg2 x — tg x + 1 = 0.

1. $\operatorname{tg}^2 x = 2$;
   $\operatorname{tg} x = \pm \sqrt{2}$;
   $x = \pm \operatorname{arctg} \sqrt{2} + \pi n$;
   Ответ: $\pm \operatorname{arctg} \sqrt{2} + \pi n$.
2. $\operatorname{tg} x = \operatorname{ctg} x$;
   $\operatorname{tg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$;
   $\operatorname{tg}^2 x = 1$;
   $\frac{1 — \cos 2x}{1 + \cos 2x} = 1$;
   $1 — \cos 2x = 1 + \cos 2x$;
   $\cos 2x + \cos 2x = 1 — 1$;
   $2 \cos 2x = 0$;
   $\cos 2x = 0$;
   $2x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
   $x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$;
   Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.
3. $\operatorname{tg}^2 x — 3 \operatorname{tg} x — 4 = 0$;
   Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:
   $y^2 — 3y — 4 = 0$;
   $D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25$, тогда:
   $y_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1$ и $y_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$;

   Первое уравнение:
   $\operatorname{tg} x = -1$;
   $x = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$;

   Второе уравнение:
   $\operatorname{tg} x = 4$;
   $x = \operatorname{arctg} 4 + \pi n$;
   Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n$; $\operatorname{arctg} 4 + \pi n$.

4. $\operatorname{tg}^2 x — \operatorname{tg} x + 1 = 0$;
   Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:
   $y^2 — y + 1 = 0$;
   $D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 — 4 = -3$;
   $D < 0$, значит корней нет;
   Ответ: корней нет.

1) $\operatorname{tg}^2 x = 2$

Шаг 1: Найдем $\operatorname{tg} x$.

$$\operatorname{tg}^2 x = 2$$

Берем квадратный корень из обеих частей:

$$\operatorname{tg} x = \pm \sqrt{2}$$

Это дает два возможных значения для $\operatorname{tg} x$: $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$.

Шаг 2: Решим для $x$.
Поскольку $\operatorname{tg} x = \sqrt{2}$ или $\operatorname{tg} x = -\sqrt{2}$, то мы можем записать решение для $x$ с помощью арктангенса:

$$x = \pm \operatorname{arctg} \sqrt{2} + \pi n$$

где $n$ — целое число, так как тангенс имеет период $\pi$.

Ответ:

$$x = \pm \operatorname{arctg} \sqrt{2} + \pi n$$

2) $\operatorname{tg} x = \operatorname{ctg} x$

Шаг 1: Изменим уравнение, используя тождество для котангенса.

$$\operatorname{tg} x = \operatorname{ctg} x \quad \Rightarrow \quad \operatorname{tg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$$

Теперь умножим обе стороны на $\operatorname{tg} x$ (при $\operatorname{tg} x \neq 0$):

$$\operatorname{tg}^2 x = 1$$

Шаг 2: Преобразуем уравнение $\operatorname{tg}^2 x = 1$.

$$\operatorname{tg}^2 x = 1 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{tg} x = \pm 1$$

Теперь рассмотрим два случая:

1. $\operatorname{tg} x = 1$
2. $\operatorname{tg} x = -1$

Шаг 3: Решим каждый случай.

$\operatorname{tg} x = 1$.

$$x = \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

$\operatorname{tg} x = -1$.

$$x = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Таким образом, все возможные значения для $x$ можно выразить в виде:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

3) $\operatorname{tg}^2 x — 3 \operatorname{tg} x — 4 = 0$

Шаг 1: Пусть $y = \operatorname{tg} x$. Тогда уравнение примет вид:

$$y^2 — 3y — 4 = 0$$

Шаг 2: Найдем корни квадратного уравнения с помощью формулы дискриминанта:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

Теперь находим корни:

$$y_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 — 5}{2} = -1$$ $$y_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4$$

Шаг 3: Теперь решим уравнение для каждого из корней.

Для $y_1 = -1$, то есть $\operatorname{tg} x = -1$:

$$x = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Для $y_2 = 4$, то есть $\operatorname{tg} x = 4$:

$$x = \operatorname{arctg} 4 + \pi n$$

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n; \quad x = \operatorname{arctg} 4 + \pi n$$

4) $\operatorname{tg}^2 x — \operatorname{tg} x + 1 = 0$

Шаг 1: Пусть $y = \operatorname{tg} x$. Тогда уравнение примет вид:

$$y^2 — y + 1 = 0$$

Шаг 2: Рассчитаем дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 — 4 = -3$$

Поскольку дискриминант $D < 0$, у квадратного уравнения нет действительных корней.

Ответ:

$$\text{Корней нет}$$