ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1491 Алимов — Подробные Ответы

Найти угол между осью Ох и касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой х0:

1. f(x)=1/4×2 — корень x, x0=1;
2. f(x) =2x корень x, x0=1/3.

1) $f(x) = \frac{1}{4x^2} — \sqrt{x}$ и $x_0 = 1$;

$$f'(x) = \left( \frac{1}{4x^2} \right)’ — \left( \sqrt{x} \right)’ = \frac{1}{4} (x^{-2})’ — \left( x^{\frac{1}{2}} \right)’ = \frac{1}{4} \cdot (-2x^{-3}) — \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2x^3} — \frac{1}{2\sqrt{x}};$$ $$\tg a = f'(1) = -\frac{1}{2 \cdot 1^3} — \frac{1}{2 \cdot \sqrt{1}} = -\frac{1}{2} — \frac{1}{2} = -1;$$ $$a = \arctg(-1) = -\arctg(1) = -\frac{\pi}{4};$$

Ответ: $a = -\frac{\pi}{4}$.

2) $f(x) = 2x\sqrt{x}$ и $x_0 = \frac{1}{3}$;

$$f'(x) = \left( 2x\sqrt{x} \right)’ = 2 \left( x^{\frac{3}{2}} \right)’ = 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}} = 3\sqrt{x};$$ $$\tg a = f’\left( \frac{1}{3} \right) = 3 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{9}{3}} = \sqrt{3};$$ $$a = \arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3};$$

Ответ: $a = \frac{\pi}{3}$.

Теоретическая справка 

1. Касательная к графику $y=f(x)$ в точке $(x_0,f(x_0))$ имеет угловой коэффициент

   $$k = f'(x_0).$$

2. Угол $\alpha$ между этой касательной и положительным направлением оси $Ox$ определяется формулой

   $$\tan\alpha = k.$$

   Чаще всего берут главное значение $\alpha\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$, то есть «наклон» в привычном школьном смысле.

1) $f(x)=\dfrac{1}{4x^{2}}-\sqrt{x}$, $x_{0}=1$

Шаг 1. Запишем функцию в степенной форме

$$\frac{1}{4x^{2}} = \tfrac14\,x^{-2}, \qquad \sqrt{x}=x^{1/2}.$$

Шаг 2. Найдём производную (правило суммы + правило степенной функции)

$$\begin{aligned} f'(x) &= \bigl(\tfrac14\,x^{-2}\bigr)’ \;-\; (x^{1/2})’ \\[4pt] &= \tfrac14\,(x^{-2})’ \;-\; (x^{1/2})’. \end{aligned}$$

• Производная $x^{n}$ есть $n\,x^{n-1}$.
  • Для $x^{-2}$: $(x^{-2})’= -2\,x^{-3}$.
  • Для $x^{1/2}$: $(x^{1/2})’= \tfrac12\,x^{-1/2}$.

Подставляем:

$$f'(x)=\tfrac14 \cdot (-2\,x^{-3}) \;-\; \tfrac12\,x^{-1/2} = -\frac12\,x^{-3} -\frac12\,x^{-1/2}.$$

Вернёмся к «корням и дробям»:

$$f'(x)= -\frac{1}{2x^{3}} — \frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

Шаг 3. Найдём угловой коэффициент в точке $x_0=1$

$$k = f'(1) = -\frac{1}{2\cdot1^{3}} — \frac{1}{2\sqrt{1}} = -\frac12 — \frac12 = -1.$$

Шаг 4. Угол между касательной и осью $Ox$

Используем $\tan\alpha=k$:

$$\tan\alpha=-1 \;\Longrightarrow\; \alpha = \arctan(-1).$$

Главное значение: $\arctan(-1)=-\dfrac{\pi}{4}$ (угол $-45^{\circ}$, касательная «падает» вправо).

Если нужна «острая» величина угла с осью без учёта направления, то это $\bigl|\,\alpha\bigr|=\dfrac{\pi}{4}$.

Ответ 1

$$\boxed{\alpha=-\dfrac{\pi}{4}}.$$

2) $f(x)=2x\sqrt{x}$, $x_{0}=\dfrac13$

Шаг 1. Перепишем функцию как одну степень

$$2x\sqrt{x}=2\,x^{1}\,x^{1/2}=2\,x^{3/2}.$$

Шаг 2. Производная

$$\begin{aligned} f'(x) &= \bigl(2\,x^{3/2}\bigr)’ = 2\cdot\frac32\,x^{3/2-1} \\[4pt] &= 3\,x^{1/2} = 3\sqrt{x}. \end{aligned}$$

Шаг 3. Угловой коэффициент в точке $x_0=\dfrac13$

$$k = f’\!\left(\dfrac13\right) = 3\sqrt{\dfrac13} = \sqrt{\dfrac{9}{3}} = \sqrt{3}.$$

Шаг 4. Находим угол

$$\tan\alpha = \sqrt{3} \;\Longrightarrow\; \alpha = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \;(60^{\circ}).$$

Ответ 2

$$\boxed{\alpha=\dfrac{\pi}{3}}.$$

Итог: