ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 753 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение (753-755).

1. arcsin(2-3x) = пи/6;
2. arcsin(3-2x) = пи/4;
3. arcsin(x-2)/4 = -пи/4;
4. arcsin(x+3)/2 = пи/3.

1) $\arcsin(2 — 3x) = \frac{\pi}{6}$

$$\arcsin(2 — 3x) = \arcsin \frac{1}{2}$$ $$2 — 3x = \frac{1}{2}$$ $$4 — 6x = 1$$ $$6x = 4 — 1$$ $$6x = 3, \text{отсюда } x = \frac{1}{2}$$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

2) $\arcsin(3 — 2x) = \frac{\pi}{4}$

$$\arcsin(3 — 2x) = \arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$3 — 2x = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$3\sqrt{2} — 2x\sqrt{2} = 1$$ $$2x\sqrt{2} = 3\sqrt{2} — 1$$ $$x = \frac{3\sqrt{2} — 1}{2\sqrt{2}} = \frac{3 \cdot 2 — \sqrt{2}}{4} = \frac{6 — \sqrt{2}}{4}$$

Ответ: $x = \frac{6 — \sqrt{2}}{4}$.

3) $\arcsin \frac{x — 2}{4} = -\frac{\pi}{4}$

$$\arcsin \frac{x — 2}{4} = -\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\arcsin \frac{x — 2}{4} = \arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$ $$\frac{x — 2}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x — 2 = -2\sqrt{2}, \text{отсюда } x = 2 — 2\sqrt{2}$$

Ответ: $x = 2 — 2\sqrt{2}$.

4) $\arcsin \frac{x + 3}{2} = -\frac{\pi}{3}$

$$\arcsin \frac{x + 3}{2} = -\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\arcsin \frac{x + 3}{2} = \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$ $$x + 3 = -\sqrt{3}, \text{отсюда } x = -3 — \sqrt{3}$$

Ответ: $x = -3 — \sqrt{3}$.

1) $\arcsin(2 — 3x) = \frac{\pi}{6}$

Шаг 1: Используем известное значение арксинуса:

$$\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}.$$

Таким образом, уравнение можно переписать как

$$\arcsin(2 — 3x) = \arcsin \frac{1}{2}.$$

Шаг 2: Поскольку функция $\arcsin$ монотонно возрастает на промежутке $[-1,1]$, равенство арксинусов означает равенство аргументов (при условии, что аргументы находятся в области определения функции $\arcsin$):

$$2 — 3x = \frac{1}{2}.$$

Шаг 3: Решаем линейное уравнение:

$$2 — 3x = \frac{1}{2}.$$

Для удобства умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$$2 \cdot 2 — 2 \cdot 3x = 2 \cdot \frac{1}{2},$$ $$4-6x=1.$$

Шаг 4: Переносим свободные члены в правую сторону:

$$-6x = 1 — 4,$$ $$-6x = -3.$$

Шаг 5: Делим обе части на $-6$:

$$x = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}.$$

Проверка области определения:
Подставим $x = \frac{1}{2}$ в выражение $2 — 3x$:

$$2 — 3 \cdot \frac{1}{2} = 2 — \frac{3}{2} = \frac{4}{2} — \frac{3}{2} = \frac{1}{2}.$$

Это число лежит в интервале $[-1, 1]$, значит решение корректно.

Ответ:

$$x = \frac{1}{2}.$$

2) $\arcsin(3 — 2x) = \frac{\pi}{4}$

Шаг 1: Известно, что

$$\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4}.$$

Переписываем уравнение:

$$\arcsin(3 — 2x) = \arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Шаг 2: Равенство арксинусов даёт равенство аргументов:

$$3 — 2x = \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Шаг 3: Чтобы избавиться от иррациональности, умножим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:$$3\sqrt{2} — 2x\sqrt{2} = 1.$$

Шаг 4: Переносим член с $x$ в одну сторону:

$$-2x\sqrt{2} = 1 — 3\sqrt{2}.$$

Умножаем обе части на $-1$ для удобства:

$$2x\sqrt{2} = 3\sqrt{2} — 1.$$

Шаг 5: Делим обе части на $2\sqrt{2}$:

$$x = \frac{3\sqrt{2} — 1}{2\sqrt{2}}.$$

Шаг 6: Упростим дробь. Разделим числитель на знаменатель:

$$x = \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} — \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{3}{2} — \frac{1}{2\sqrt{2}}.$$

Чтобы выразить в одном дробном виде, приведём вторую часть к общему знаменателю:

$$\frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{4}.$$

Используем альтернативный подход, умножая числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:

$$x = \frac{3\sqrt{2} — 1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3 \cdot 2 — \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{6 — \sqrt{2}}{4}.$$

Проверка области определения:
Подставим $x$ в выражение $3 — 2x$:

$$3 — 2 \cdot \frac{6 — \sqrt{2}}{4} = 3 — \frac{12 — 2\sqrt{2}}{4} = 3 — 3 + \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2},$$

что равно $\frac{1}{\sqrt{2}}$, как и нужно. Значит, решение корректно.

Ответ:

$$x = \frac{6 — \sqrt{2}}{4}.$$

3) $\arcsin \frac{x — 2}{4} = -\frac{\pi}{4}$

Шаг 1: Используем известное значение:

$$\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} \implies -\frac{\pi}{4} = -\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Значит,

$$\arcsin \frac{x — 2}{4} = -\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$$

Шаг 2: Равенство арксинусов даёт

$$\frac{x — 2}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Шаг 3: Умножаем обе части на 4:

$$x — 2 = 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -2\sqrt{2}.$$

Шаг 4: Решаем относительно $x$:

$$x = 2 — 2\sqrt{2}.$$

Проверка области определения:
Значение $\frac{x-2}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707$ лежит в интервале $[-1,1]$, значит решение корректно.

Ответ:

$$x = 2 — 2\sqrt{2}.$$

4) $\arcsin \frac{x + 3}{2} = -\frac{\pi}{3}$

Шаг 1: Используем известное значение:

$$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} \implies -\frac{\pi}{3} = -\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$$

Шаг 2: Равенство арксинусов даёт

$$\frac{x + 3}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Шаг 3: Умножаем обе части на 2:

$$x + 3 = -\sqrt{3}.$$

Шаг 4: Решаем относительно $x$:

$$x = -3 — \sqrt{3}.$$

Проверка области определения:
Число $\frac{x+3}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866$ принадлежит интервалу $[-1,1]$, значит решение корректно.

Ответ:

$$x = -3 — \sqrt{3}.$$