ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 386 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить log30(64) с точностью до 0,001, зная, что lg 3=0,4771, lg 5=0,6990.

Вычислить $\log_{30} 64$ с точностью до 0,001, зная что:

$$\lg 3 \approx 0,4771 \quad \text{и} \quad \lg 5 \approx 0,6990;$$

Преобразуем данный логарифм:

$${\log }_{30}64=\frac{\lg 64}{\lg 30}=\frac{\lg 2^6}{\lg (3\cdot 10)}=\frac{6\lg 2}{\lg 3+\lg 10}=\frac{6\lg \frac{10}{5}}{\lg 3+1}=\frac{6(\lg 10-\lg 5)}{\lg 3+1}=$$

$$\log_{30} 64 = \frac{\lg 64}{\lg 30} = \frac{\lg 2^6}{\lg (3 \cdot 10)} = \frac{6 \lg 2}{\lg 3 + \lg 10} = \frac{6 \lg \frac{10}{5}}{\lg 3 + 1} = \frac{6 (\lg 10 — \lg 5)}{\lg 3 + 1} =$$ $$=\frac{6(1-\lg 5)}{\lg 3+1};$$$$= \frac{6 (1 — \lg 5)}{\lg 3 + 1};$$

Подставим известные значения:

$$\log_{30} 64 \approx \frac{6 (1 — 0,6990)}{0,4771 + 1} \approx \frac{6 \cdot 0,301}{1,4771} \approx \frac{1,806}{1,4771} \approx 1,223;$$

Ответ: $\boxed{\approx 1{,}223}$.

Задано:

Вычислить:

$$\log_{30} 64$$

с точностью до 0,001, зная, что:

• $\lg 3 \approx 0{,}4771$
• $\lg 5 \approx 0{,}6990$

Шаг 1. Формула смены основания логарифма

Используем универсальное преобразование:

$$\log_b a = \frac{\lg a}{\lg b}$$

Применим к выражению:

$$\log_{30} 64 = \frac{\lg 64}{\lg 30}$$

Шаг 2. Раскроем числитель и знаменатель

Числитель:

$$64 = 2^6 \Rightarrow \lg 64 = \lg(2^6) = 6 \lg 2$$

Знаменатель:

$$30 = 3 \cdot 10 \Rightarrow \lg 30 = \lg(3 \cdot 10) = \lg 3 + \lg 10$$

А так как:

$$\lg 10 = 1$$

То:

$$\lg 30 = \lg 3 + 1$$

Шаг 3. Найдём $\lg 2$ через известное значение

У нас нет $\lg 2$, но есть $\lg 5$.
Поскольку:

$$\lg 10 = \lg(2 \cdot 5) = \lg 2 + \lg 5 = 1$$

Отсюда:

$$\lg 2 = 1 — \lg 5 = 1 — 0{,}6990 = 0{,}3010$$

Шаг 4. Подставим в основную формулу

$$\log_{30} 64 = \frac{6 \lg 2}{\lg 3 + 1} = \frac{6 \cdot 0{,}3010}{0{,}4771 + 1}$$

Шаг 5. Проведём вычисления

Числитель:

$$6 \cdot 0{,}3010 = 1{,}806$$

Знаменатель:

$$0{,}4771 + 1 = 1{,}4771$$

Шаг 6. Делим числитель на знаменатель:

$$\frac{1{,}806}{1{,}4771} \approx 1{,}223$$

Окончательный ответ:

$$\boxed{\log_{30} 64 \approx 1{,}223}$$