ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 957 Алимов — Подробные Ответы

Найти стационарные точки функции:

1. у = х4 — 4х3 — 8х2 +1;
2. у = 4х4 — 2х2 + 3;
3. у = x/3 -12/x;
4. у = cos 2х + 2 cos х.

$y = x^4 — 4x^3 — 8x^2 + 1$;

$y'(x) = (x^4)’ — 4 \cdot (x^3)’ — 8 \cdot (x^2)’ + (1)’$;

$y'(x) = 4x^3 — 4 \cdot 3x^2 — 8 \cdot 2x + 0$;

$y'(x) = 4x^3 — 12x^2 — 16x$;

Стационарные точки:

$4x^3 — 12x^2 — 16x = 0$;

$4x \cdot (x^2 — 3x — 4) = 0$;

$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25$, тогда:

$x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$;

$(x + 1) \cdot 4x \cdot (x — 4) = 0$;

Ответ: $x_1 = -1$; $x_2 = 0$; $x_3 = 4$.

$y = 4x^4 — 2x^2 + 3$;

$y'(x) = 4 \cdot (x^4)’ — 2 \cdot (x^2)’ + (3)’$;

$y'(x) = 4 \cdot 4x^3 — 2 \cdot 2x + 0$;

$y'(x) = 16x^3 — 4x$;

Стационарные точки:

$16x^3 — 4x = 0$;

$4x \cdot (4x^2 — 1) = 0$;

$(2x + 1) \cdot 4x \cdot (2x — 1) = 0$;

Ответ: $x_1 = -0.5$; $x_2 = 0$; $x = 0.5$.

$y = \frac{x}{3} — \frac{12}{x}$;

$y'(x) = \frac{1}{3} \cdot (x)’ — 12 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)’$;

$y'(x) = \frac{1}{3} — 12 \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right)$;

$y'(x) = \frac{1}{3} + \frac{12}{x^2}$;

Стационарные точки:

$\frac{1}{3} + \frac{12}{x^2} = 0$;

$x^2 + 12 \cdot 3 = 0$;

$x^2 = -36$ — нет корней;

Ответ: нет таких точек.

$y = \cos 2x + 2 \cos x$;

$y'(x) = (\cos 2x)’ + 2 \cdot (\cos x)’$;

$y'(x) = -2 \sin 2x — 2 \sin x$;

$y'(x) = -2 \cdot (\sin 2x + \sin x)$;

Стационарные точки:

$\sin 2x + \sin x = 0$;

$2 \sin x \cdot \cos x + \sin x = 0$;

$\sin x \cdot (2 \cos x + 1) = 0$;

Первое уравнение:

$\sin x = 0$;

$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n$;

Второе уравнение:

$2 \cos x + 1 = 0$;

$2 \cos x = -1$;

$\cos x = -\frac{1}{2}$;

$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$;

Ответ: $x_1 = \pi n$; $x_2 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

1) $y = x^4 — 4x^3 — 8x^2 + 1$

Шаг 1: Найдём производную функции $y(x)$

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^4) — 4 \cdot \frac{d}{dx}(x^3) — 8 \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(1)$$

Вычисляем производные:

• $\frac{d}{dx}(x^4) = 4x^3$
• $\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$
• $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$
• $\frac{d}{dx}(1) = 0$

Подставим:

$$y'(x) = 4x^3 — 4 \cdot 3x^2 — 8 \cdot 2x + 0 = 4x^3 — 12x^2 — 16x$$

Шаг 2: Найдём стационарные точки — приравняем производную к нулю:

$$4x^3 — 12x^2 — 16x = 0$$

Вынесем общий множитель $4x$:

$$4x(x^2 — 3x — 4) = 0$$

Разложим квадратный трёхчлен:

$$x^2 — 3x — 4 = (x + 1)(x — 4)$$

Тогда:

$$4x(x + 1)(x — 4) = 0$$

Шаг 3: Найдём корни уравнения

Каждый множитель приравниваем к нулю:

• $x = 0$
• $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$
• $x — 4 = 0 \Rightarrow x = 4$

Ответ:

$$x_1 = -1,\quad x_2 = 0,\quad x_3 = 4$$

2) $y = 4x^4 — 2x^2 + 3$

Шаг 1: Производная

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(4x^4) — 2 \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(3)$$

• $\frac{d}{dx}(4x^4) = 4 \cdot 4x^3 = 16x^3$
• $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$
• $\frac{d}{dx}(3) = 0$

Итак:

$$y'(x) = 16x^3 — 4x$$

Шаг 2: Приравниваем к нулю

$$16x^3 — 4x = 0$$

Вынесем $4x$:

$$4x(4x^2 — 1) = 0$$

Разложим разность квадратов:

$$4x(2x — 1)(2x + 1) = 0$$

Шаг 3: Решаем

• $4x = 0 \Rightarrow x = 0$
• $2x — 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$
• $2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$

Ответ:

$$x_1 = -0.5,\quad x_2 = 0,\quad x_3 = 0.5$$

3) $y = \frac{x}{3} — \frac{12}{x}$

Шаг 1: Производная

$$y'(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{dx}(x) — 12 \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)$$

• $\frac{d}{dx}(x) = 1$
• $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2}$

Подставим:

$$y'(x) = \frac{1}{3} — 12 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{1}{3} + \frac{12}{x^2}$$

Шаг 2: Приравниваем к нулю

$$\frac{1}{3} + \frac{12}{x^2} = 0$$

Умножим обе части на $3x^2$:

$$x^2 + 36 = 0 \Rightarrow x^2 = -36$$

Такого быть не может в действительных числах.

Ответ:

Нет действительных решений — стационарных точек нет.

4) $y = \cos 2x + 2\cos x$

Шаг 1: Производная

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(\cos 2x) + 2 \cdot \frac{d}{dx}(\cos x)$$

• $\frac{d}{dx}(\cos 2x) = -2\sin 2x$
• $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$

$$y'(x) = -2\sin 2x — 2\sin x = -2(\sin 2x + \sin x)$$

Шаг 2: Приравниваем к нулю

$$\sin 2x + \sin x = 0$$

Воспользуемся формулой $\sin A + \sin B = 2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$, но в данном случае проще преобразовать:

$$\sin 2x = -\sin x$$ $$2\sin x \cos x + \sin x = 0$$

Вынесем $\sin x$:

$$\sin x(2\cos x + 1) = 0$$

Шаг 3: Решаем каждое уравнение

1) $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$

2) $2\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{2}$

$$x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \left(\pi — \frac{\pi}{3}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Ответ:

$$x_1 = \pi n,\quad x_2 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$