ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 762 Алимов — Подробные Ответы

Найти корни уравнения, принадлежащие промежутку [0; 3пи]:

1. 2 cos х + корень 3 = 0;
2. корень 3 — sin х = sin х;
3. 3 tg х = корень 3;
4. cos х + 1 = 0.

Требуется найти корни уравнения на отрезке $[0; 3\pi]$:

$2 \cos x + \sqrt{3} = 0$;
$2 \cos x = -\sqrt{3}$;
$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;
$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{6} \right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$;

Значения на искомом отрезке:
$x_1 = \frac{5\pi}{6}$;
$x_2 = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6}$;
$x_3 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6}$;

2. $\sqrt{3} — \sin x = \sin x$;
$2 \sin x = \sqrt{3}$;
$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$;

Значения на искомом отрезке:
$x_1 = \frac{\pi}{3}$;
$x_2 = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}$;
$x_3 = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$;
$x_4 = -\frac{\pi}{3} + 3\pi = \frac{8\pi}{3}$;

3. $3 \operatorname{tg} x = \sqrt{3}$;
$\operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$;
$x = \operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n$;

Значения на искомом отрезке:
$x_1 = \frac{\pi}{6}$;
$x_2 = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$;
$x_3 = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$;

$\cos x + 1 = 0$;
$\cos x = -1$;
$x = \pi — \arccos 1 + 2\pi n = \pi + 2\pi n$;

Значения на искомом отрезке:
$x_1 = \pi$;
$x_2 = \pi + 2\pi = 3\pi$

Найти все корни уравнений на отрезке $[0; 3\pi]$.

1) Уравнение:

$$2 \cos x + \sqrt{3} = 0$$

Шаг 1. Перепишем уравнение, выделив $\cos x$:

$$2 \cos x = -\sqrt{3}$$ $$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 2. Найдём все $x$, при которых $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Из тригонометрии известно, что:

$$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{при} \quad \theta = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

Тогда, для $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $x$ находится в точках симметричных относительно $\pi$:

$$x = \pi \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

Развернём:

$$x = \pi — \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

и

$$x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$$

Шаг 3. Запишем общее решение:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Шаг 4. Найдём значения $x$ на отрезке $[0; 3\pi]$, то есть при $0 \leq x \leq 3\pi$.

Для $n=0$:

• $x_1 = \frac{5\pi}{6}$ (положительное значение в пределах $[0; 3\pi]$)
• $x_2 = -\frac{5\pi}{6} + 0 = -\frac{5\pi}{6}$ (не входит в отрезок)

Для $n=1$:

• $x_3 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{5\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{17\pi}{6}$ (входит, так как $17\pi/6 \approx 8.9 < 3\pi \approx 9.42$)
• $x_4 = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = -\frac{5\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ (входит)

Для $n=2$:

• $x_5 = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{5\pi}{6} + \frac{24\pi}{6} = \frac{29\pi}{6} \approx 15.1 > 3\pi$ (не входит)

Итог:

$$x_1 = \frac{5\pi}{6}, \quad x_2 = \frac{7\pi}{6}, \quad x_3 = \frac{17\pi}{6}$$

2) Уравнение:

$$\sqrt{3} — \sin x = \sin x$$

Шаг 1. Переносим $\sin x$ в правую часть:

$$\sqrt{3} = 2 \sin x$$

Шаг 2. Найдём $\sin x$:

$$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 3. Общее решение уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

Из тригонометрии:

$$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \Rightarrow \quad \theta = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{или} \quad \theta = \pi — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Однако, более компактно общее решение для уравнения $\sin x = a$ записывают как:

$$x = (-1)^n \arcsin a + \pi n$$

В нашем случае:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 4. Найдём все $x$ из этого выражения, попадающие в отрезок $[0; 3\pi]$:

Для $n=0$:

• $x = \frac{\pi}{3}$
• $x = -\frac{\pi}{3} + 0 = -\frac{\pi}{3}$ (не входит)

Для $n=1$:

• $x = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}$
• $x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$

Для $n=2$:

• $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{\pi}{3} + \frac{12\pi}{6} = \frac{7\pi}{3}$
• $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$

Для $n=3$:

• $x = \frac{\pi}{3} + 3\pi = \frac{\pi}{3} + \frac{18\pi}{6} = \frac{19\pi}{6} > 3\pi$ (не входит)
• $x = -\frac{\pi}{3} + 3\pi = \frac{8\pi}{3}$

Проверим, какие из этих значений в отрезке:

• $\frac{\pi}{3} \approx 1.047$ — входит
• $\frac{2\pi}{3} \approx 2.094$ — входит
• $\frac{4\pi}{3} \approx 4.188$ — входит
• $\frac{5\pi}{3} \approx 5.236$ — входит
• $\frac{7\pi}{3} \approx 7.33$ — входит
• $\frac{8\pi}{3} \approx 8.377$ — входит

Итог, корни:

$$x_1 = \frac{\pi}{3}, \quad x_2 = \frac{2\pi}{3}, \quad x_3 = \frac{7\pi}{3}, \quad x_4 = \frac{8\pi}{3}$$

3) Уравнение:

$$3 \operatorname{tg} x = \sqrt{3}$$

Шаг 1. Выразим тангенс:

$$\operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Шаг 2. Найдём общее решение уравнения:

$$\tan x = \tan \alpha \implies x = \alpha + \pi n$$

Где $\alpha = \arctan \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Из таблицы значений:

$$\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Значит:

$$x = \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Шаг 3. Найдём значения $x$ в $[0; 3\pi]$:

При $n=0$:

$$x_1 = \frac{\pi}{6} \approx 0.524$$

При $n=1$:

$$x_2 = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{\pi}{6} + \frac{6\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \approx 3.665$$

При $n=2$:

$$x_3 = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{13\pi}{6} \approx 6.806$$

При $n=3$:

$$x_4 = \frac{\pi}{6} + 3\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{18\pi}{6} = \frac{19\pi}{6} \approx 9.947 > 3\pi \approx 9.424$$

Значение $x_4$ выходит за пределы отрезка.

Итог:

$$x_1 = \frac{\pi}{6}, \quad x_2 = \frac{7\pi}{6}, \quad x_3 = \frac{13\pi}{6}$$

4) Уравнение:

$$\cos x + 1 = 0$$

Шаг 1. Выразим косинус:

$$\cos x = -1$$

Шаг 2. Общее решение для $\cos x = -1$:

$$x=\pi +2\pi n$$

Шаг 3. Найдём $x$ на отрезке $[0; 3\pi]$:

При $n=0$:

$$x_1 = \pi \approx 3.1415$$

При $n=1$:

$$x_2 = \pi + 2\pi = 3\pi \approx 9.424$$

При $n=2$:

$$x_3 = \pi + 4\pi = 5\pi > 3\pi$$

Третье значение вне отрезка.

Итог:

$$x_1 = \pi, \quad x_2 = 3\pi$$

Итоговый ответ:

1. $x = \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}$
2. $x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}$
3. $x = \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$
4. $x = \pi, 3\pi$