ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 287 Алимов — Подробные Ответы

1. (3x+2x)(3x+3*2x)=8*6x;
2. (3*5x + 2,5*3x) ( 2*3x-2*5x) = 8*15x.

1. $(3^x + 2^x)(3^x + 3 \cdot 2^x) = 8 \cdot 6^x$;
   $3^{2x} + (3 \cdot 2)^x \cdot 3 + (3 \cdot 2)^x + 3 \cdot 2^{2x} = 8 \cdot (3 \cdot 2)^x$;
   $3^{2x} — 4 \cdot (3 \cdot 2)^x + 3 \cdot 2^{2x} = 0$ | $\div 2^{2x}$;
   $\left( \frac{3}{2} \right)^{2x} — 4 \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^x + 3 = 0$;
   Пусть $y = \left( \frac{3}{2} \right)^x$, тогда:
   $y^2 — 4y + 3 = 0$;
   $D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$, тогда:
   $y_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1$ и $y_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$;
   Первое значение:
   $\left( \frac{3}{2} \right)^x = 1$;
   $\left( \frac{3}{2} \right)^x = \left( \frac{3}{2} \right)^0$, отсюда $x = 0$;
   Второе значение:
   $\left( \frac{3}{2} \right)^x = 3$;
   $\log_{\frac{3}{2}} \left( \frac{3}{2} \right)^x = \log_{\frac{3}{2}} 3$;
   $x = \log_{1.5} 3$;
   Ответ: $x_1 = 0$; $x_2 = \log_{1.5} 3$.
2. $(3 \cdot 5^x + 2.5 \cdot 3^x)(2 \cdot 3^x — 2 \cdot 5^x) = 8 \cdot 15^x$;
   $6 \cdot (5 \cdot 3)^x — 6 \cdot 5^{2x} + 5 \cdot 3^{2x} — 5 \cdot (5 \cdot 3)^x = 8 \cdot (5 \cdot 3)^x$;
   $5 \cdot 3^{2x} — 7 \cdot (5 \cdot 3)^x — 6 \cdot 5^{2x} = 0$ | $\div 5^{2x}$;
   $5 \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^{2x} — 7 \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^x — 6 = 0$;
   Пусть $y = \left( \frac{3}{5} \right)^x$, тогда:
   $5y^2 — 7y — 6 = 0$;
   $D = 7^2 + 4 \cdot 5 \cdot 6 = 49 + 120 = 169$, тогда:
   $y_1 = \frac{7 — 13}{2 \cdot 5} = -\frac{6}{10}$;
   $y_2 = \frac{7 + 13}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$;
   Первое значение:
   $\left( \frac{3}{5} \right)^x = -\frac{6}{10}$ — нет корней;
   Второе значение:
   $\left( \frac{3}{5} \right)^x = 2$;
   $\log_{\frac{3}{5}} \left( \frac{3}{5} \right)^x = \log_{\frac{3}{5}} 2$;
   $x = \log_{0.6} 2$;
   Ответ: $x = \log_{0.6} 2$.

1) Решим уравнение:

$$(3^x + 2^x)(3^x + 3 \cdot 2^x) = 8 \cdot 6^x$$

Шаг 1: Раскрываем скобки слева

Перемножим два выражения:

$$(3^x + 2^x)(3^x + 3 \cdot 2^x) = 3^x \cdot 3^x + 3^x \cdot 3 \cdot 2^x + 2^x \cdot 3^x + 2^x \cdot 3 \cdot 2^x$$

Перепишем:

$$3^{2x} + 3 \cdot 3^x 2^x + 3^x 2^x + 3 \cdot 2^{2x}$$

Шаг 2: Упростим выражения с произведением степеней

Так как $3^x \cdot 2^x = (3 \cdot 2)^x = 6^x$, заменим:

$$3^{2x} + 3 \cdot 6^x + 6^x + 3 \cdot 2^{2x}$$

Шаг 3: Запишем исходное уравнение с заменами

$$3^{2x} + 3 \cdot 6^x + 6^x + 3 \cdot 2^{2x} = 8 \cdot 6^x$$

Объединим члены с $6^x$:

$$3^{2x} + 4 \cdot 6^x + 3 \cdot 2^{2x} = 8 \cdot 6^x$$

Шаг 4: Переносим все члены в одну сторону

$$3^{2x} + 4 \cdot 6^x + 3 \cdot 2^{2x} — 8 \cdot 6^x = 0$$

Упростим:

$$3^{2x} — 4 \cdot 6^x + 3 \cdot 2^{2x} = 0$$

Шаг 5: Делим уравнение на $2^{2x}$, чтобы упростить выражение

Так как $2^{2x} > 0$, деление не меняет множество решений:

$$\frac{3^{2x}}{2^{2x}} — 4 \cdot \frac{6^x}{2^{2x}} + 3 = 0$$

Шаг 6: Выразим дроби через степени с основанием $\frac{3}{2}$

$$\left(\frac{3}{2}\right)^{2x} — 4 \cdot \frac{6^x}{2^{2x}} + 3 = 0$$

Шаг 7: Упростим $\frac{6^x}{2^{2x}}$

Пишем $6^x = (3 \cdot 2)^x = 3^x \cdot 2^x$, тогда:

$$\frac{6^x}{2^{2x}} = \frac{3^x \cdot 2^x}{2^{2x}} = 3^x \cdot 2^{x — 2x} = 3^x \cdot 2^{-x} = \left(\frac{3}{2}\right)^x$$

Шаг 8: Подставляем упрощение в уравнение

$$\left(\frac{3}{2}\right)^{2x} — 4 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x + 3 = 0$$

Шаг 9: Введём замену переменной

Пусть

$$y = \left(\frac{3}{2}\right)^x$$

Тогда

$$y^2 — 4y + 3 = 0$$

Шаг 10: Решаем квадратное уравнение

Дискриминант:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$$

Корни:

$$y_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$$

Получаем:

$$y_1 = \frac{4 — 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$y_2 = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Шаг 11: Возвращаемся к переменной $x$

• Для $y_1 = 1$:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^x = 1 = \left(\frac{3}{2}\right)^0$$

Значит:

$$x = 0$$

• Для $y_2 = 3$:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^x = 3$$

Берём логарифм по основанию $\frac{3}{2}$:

$$x = \log_{\frac{3}{2}} 3$$

Ответ:

$$x_1 = 0; \quad x_2 = \log_{1.5} 3$$

2) Решим уравнение:

$$(3 \cdot 5^x + 2.5 \cdot 3^x)(2 \cdot 3^x — 2 \cdot 5^x) = 8 \cdot 15^x$$

Шаг 1: Раскроем скобки

Умножим два скобочных выражения:

$$(3 \cdot 5^x)(2 \cdot 3^x) + (3 \cdot 5^x)(-2 \cdot 5^x) + (2.5 \cdot 3^x)(2 \cdot 3^x) + (2.5 \cdot 3^x)(-2 \cdot 5^x)$$

Перемножим коэффициенты и степени:

$$6 \cdot 5^x 3^x — 6 \cdot 5^{2x} + 5 \cdot 3^{2x} — 5 \cdot 3^x 5^x$$

Шаг 2: Приведём подобные члены

Объединим $5^x 3^x$:

$$6 \cdot (5 \cdot 3)^x — 6 \cdot 5^{2x} + 5 \cdot 3^{2x} — 5 \cdot (5 \cdot 3)^x$$

Шаг 3: Запишем уравнение

$$6 \cdot 15^x — 6 \cdot 5^{2x} + 5 \cdot 3^{2x} — 5 \cdot 15^x = 8 \cdot 15^x$$

Шаг 4: Переносим всё в одну сторону

$$6 \cdot 15^x — 6 \cdot 5^{2x} + 5 \cdot 3^{2x} — 5 \cdot 15^x — 8 \cdot 15^x = 0$$

Объединим члены с $15^x$:

$$(6 — 5 — 8) \cdot 15^x + 5 \cdot 3^{2x} — 6 \cdot 5^{2x} = 0$$ $$-7 \cdot 15^x + 5 \cdot 3^{2x} — 6 \cdot 5^{2x} = 0$$

Перепишем:

$$5 \cdot 3^{2x} — 7 \cdot 15^x — 6 \cdot 5^{2x} = 0$$

Шаг 5: Делим уравнение на $5^{2x}$ (положительно, так как $5 > 0$):

$$5 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{2x} — 7 \cdot \frac{15^x}{5^{2x}} — 6 = 0$$

Шаг 6: Упростим $\frac{15^x}{5^{2x}}$

Запишем степени через основания:

$$15^x = (3 \cdot 5)^x = 3^x \cdot 5^x$$

Тогда:

$$\frac{15^x}{5^{2x}} = \frac{3^x \cdot 5^x}{5^{2x}} = 3^x \cdot 5^{x — 2x} = 3^x \cdot 5^{-x} = \left(\frac{3}{5}\right)^x$$

Шаг 7: Подставляем в уравнение

$$5 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{2x} — 7 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^x — 6 = 0$$

Шаг 8: Вводим замену

Пусть

$$y = \left(\frac{3}{5}\right)^x$$

Тогда:

$$5y^2 — 7y — 6 = 0$$

Шаг 9: Решаем квадратное уравнение

Дискриминант:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 49 + 120 = 169$$

Корни:

$$y = \frac{7 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{7 \pm 13}{10}$$

Шаг 10: Находим корни

$$y_1 = \frac{7 — 13}{10} = \frac{-6}{10} = -0.6$$ $$y_2 = \frac{7 + 13}{10} = \frac{20}{10} = 2$$

Шаг 11: Анализ корней

• $y_1 = -0.6$. Так как $y = \left(\frac{3}{5}\right)^x$, а основание $\frac{3}{5} = 0.6 > 0$, степенная функция принимает только положительные значения. Значит корень $y_1$ не подходит.
• $y_2 = 2$.

$$\left(\frac{3}{5}\right)^x = 2$$

Шаг 12: Решаем уравнение для $x$

Берём логарифм по основанию $\frac{3}{5}$:

$$x = \log_{\frac{3}{5}} 2$$

Ответ:

$$x = \log_{0.6} 2$$