ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 835 Алимов — Подробные Ответы

1. 2 ln x + 3x;
2. 3 ln x — 2x;
3. log2 x + 1/2x;
4. 3 x^-3 — log3(x);
5. ln (x2 — 2x);
6. (3×2 — 2) log3(x).

1. $f(x) = 2 \ln x + 3^x$;
   $f'(x) = 2 \cdot (\ln x)’ + (3^x)’ = 2 \cdot \frac{1}{x} + 3^x \cdot \ln 3 = \frac{2}{x} + 3^x \cdot \ln 3$;
2. $f(x) = 3 \ln x — 2^x$;
   $f'(x) = 3 \cdot (\ln x)’ — (2^x)’ = 3 \cdot \frac{1}{x} — 2^x \cdot \ln 2 = \frac{3}{x} — 2^x \cdot \ln 2$;
3. $f(x) = \log_2 x + \frac{1}{2x}$;
   $f'(x) = (\log_2 x)’ + \left( \frac{1}{2x} \right)’ = \frac{1}{x \ln 2} + \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) = \frac{1}{x \ln 2} — \frac{1}{2x^2}$;
4. $f(x) = 3x^{-3} — \log_3 x$;
   $f'(x) = 3 \cdot (x^{-3})’ — (\log_3 x)’ = 3 \cdot (-3) \cdot x^{-4} — \frac{1}{x \ln 3} = -9x^{-4} — \frac{1}{x \ln 3}$;
5. $f(x) = \ln(x^2 — 2x)$;
   Пусть $u = x^2 — 2x$, тогда $f(u) = \ln u$;
   $f'(x) = (x^2 — 2x)’ \cdot (\ln u)’ = (2x — 2) \cdot \frac{1}{u} = \frac{2x — 2}{x^2 — 2x}$;
6. $f(x) = (3x^2 — 2) \cdot \log_3 x$;
   $f'(x) = (3x^2 — 2)’ \cdot \log_3 x + (3x^2 — 2) \cdot (\log_3 x)’$;
   $f'(x) = 3 \cdot 2x \cdot \log_3 x + (3x^2 — 2) \cdot \frac{1}{x \ln 3}$;
   $f'(x) = \frac{6x \cdot \ln x}{\ln 3} + \frac{3x^2 — 2}{x \ln 3}$;
   $f'(x) = \frac{6x^2 \cdot \ln x + 3x^2 — 2}{x \ln 3}$;
   $f'(x) = \frac{3x^2 \cdot (2 \ln x + 1) — 2}{x \ln 3}$;
   $f'(x) = \frac{3x \cdot (2 \ln x + 1)}{\ln 3} — \frac{2}{x \ln 3}$

1) $f(x) = 2 \ln x + 3^x$

Нам нужно найти производную функции $f(x)$. Для этого воспользуемся стандартными правилами дифференцирования.

Шаг 1: Применяем правило суммы

Производная от суммы функций равна сумме производных этих функций. То есть:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 2 \ln x \right) + \frac{d}{dx} \left( 3^x \right)$$

Шаг 2: Дифференцируем $2 \ln x$

Для $2 \ln x$ используем постоянный множитель:

$$\frac{d}{dx} \left( 2 \ln x \right) = 2 \cdot \frac{1}{x}$$

Шаг 3: Дифференцируем $3^x$

Для дифференцирования выражения $3^x$ применяем правило дифференцирования экспоненциальной функции $a^x$, где $a$ — основание:

$$\frac{d}{dx} \left( 3^x \right) = 3^x \cdot \ln 3$$

Шаг 4: Составляем полное выражение

Теперь, комбинируя результаты, получаем:

$$f'(x) = \frac{2}{x} + 3^x \cdot \ln 3$$

2) $f(x) = 3 \ln x — 2^x$

Давайте найдем производную для этой функции.

Шаг 1: Применяем правило суммы

Сначала применяем правило суммы:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 3 \ln x \right) — \frac{d}{dx} \left( 2^x \right)$$

Шаг 2: Дифференцируем $3 \ln x$

Для $3 \ln x$ применяем постоянный множитель:

$$\frac{d}{dx} \left( 3 \ln x \right) = 3 \cdot \frac{1}{x}$$

Шаг 3: Дифференцируем $2^x$

Для $2^x$ используем правило дифференцирования экспоненциальной функции $a^x$:

$$\frac{d}{dx} \left( 2^x \right) = 2^x \cdot \ln 2$$

Шаг 4: Составляем полное выражение

Теперь, комбинируя результаты, получаем:

$$f'(x) = \frac{3}{x} — 2^x \cdot \ln 2$$

3) $f(x) = \log_2 x + \frac{1}{2x}$

Здесь, чтобы найти производную, необходимо учитывать два члена в выражении: $\log_2 x$ и $\frac{1}{2x}$.

Шаг 1: Дифференцируем $\log_2 x$

Для дифференцирования $\log_2 x$ используем формулу преобразования логарифма:

$$\log_2 x = \frac{\ln x}{\ln 2}$$

Теперь дифференцируем:

$$\frac{d}{dx} \left( \log_2 x \right) = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{1}{x}$$

Итак:

$$\frac{d}{dx} \left( \log_2 x \right) = \frac{1}{x \ln 2}$$

Шаг 2: Дифференцируем $\frac{1}{2x}$

Теперь дифференцируем $\frac{1}{2x}$. Для этого используем стандартное правило дифференцирования дробей:

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2x} \right) = -\frac{1}{2x^2}$$

Шаг 3: Составляем полное выражение

Теперь комбинируем результаты:

$$f'(x) = \frac{1}{x \ln 2} — \frac{1}{2x^2}$$

4) $f(x) = 3x^{-3} — \log_3 x$

Здесь есть два члена: $3x^{-3}$ и $\log_3 x$.

Шаг 1: Дифференцируем $3x^{-3}$

Для дифференцирования $3x^{-3}$ используем правило дифференцирования степенных функций:

$$\frac{d}{dx} \left( 3x^{-3} \right) = 3 \cdot (-3) \cdot x^{-4} = -9x^{-4}$$

Шаг 2: Дифференцируем $\log_3 x$

Для дифференцирования $\log_3 x$ применяем формулу для логарифма с основанием 3:

$$\frac{d}{dx} \left( \log_3 x \right) = \frac{1}{x \ln 3}$$

Шаг 3: Составляем полное выражение

Теперь комбинируем результаты:

$$f'(x) = -9x^{-4} — \frac{1}{x \ln 3}$$

5) $f(x) = \ln(x^2 — 2x)$

Для этого примера используем правило цепочки.

Шаг 1: Пусть $u = x^2 — 2x$, тогда $f(u) = \ln u$.

Теперь по правилу цепочки:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \ln u \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( x^2 — 2x \right)$$

Шаг 2: Дифференцируем $\ln u$

Производная от $\ln u$ по $u$ равна:

$$\frac{d}{du} \left( \ln u \right) = \frac{1}{u}$$

Таким образом, производная будет:

$$\frac{d}{dx} \left( \ln(x^2 — 2x) \right) = \frac{1}{x^2 — 2x}$$

Шаг 3: Дифференцируем $x^2 — 2x$

Теперь вычисляем производную $x^2 — 2x$:

$$\frac{d}{dx} \left( x^2 — 2x \right) = 2x — 2$$

Шаг 4: Составляем полное выражение

Теперь комбинируем результаты:

$$f'(x) = \frac{2x — 2}{x^2 — 2x}$$

6) $f(x) = (3x^2 — 2) \cdot \log_3 x$

Здесь применим правило произведения.

Шаг 1: Применяем правило произведения

Если у нас есть произведение двух функций, то производная будет равна:

$$f'(x) = (3x^2 — 2)’ \cdot \log_3 x + (3x^2 — 2) \cdot (\log_3 x)’$$

Шаг 2: Дифференцируем $3x^2 — 2$

Производная от $3x^2 — 2$ по $x$ равна:

$$\frac{d}{dx} \left( 3x^2 — 2 \right) = 6x$$

Шаг 3: Дифференцируем $\log_3 x$

Производная от $\log_3 x$ по $x$ равна:

$$\frac{d}{dx} \left( \log_3 x \right) = \frac{1}{x \ln 3}$$

Шаг 4: Составляем полное выражение

Теперь комбинируем все результаты:

$$f'(x) = 6x \cdot \log_3 x + (3x^2 — 2) \cdot \frac{1}{x \ln 3}$$

Упрощаем:

$$f'(x) = \frac{6x \cdot \ln x}{\ln 3} + \frac{3x^2 — 2}{x \ln 3}$$

Дальше:

$$f'(x) = \frac{6x^2 \cdot \ln x + 3x^2 — 2}{x \ln 3}$$

Разбираем еще раз:

$$f'(x) = \frac{3x^2 \cdot (2 \ln x + 1) — 2}{x \ln 3}$$

И, наконец:

$$f'(x) = \frac{3x \cdot (2 \ln x + 1)}{\ln 3} — \frac{2}{x \ln 3}$$