ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 864 Алимов — Подробные Ответы

Под каким углом пересекаются графики функций (углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к этим кривым в этой точке):

1. y=8-x и y=4 корень (x+4);
2. y=1(x+1)2/2 и y=1(x-1)2/2;
3. y=ln(x+1) и y=ln(x-1);
4. y=ex и y=e^-x.

$y = 8 — x$ и $y = 4\sqrt{x + 4}$

Точка пересечения кривых:

$$8 — x = 4\sqrt{x + 4};$$ $$64 — 16x + x^2 = 16(x + 4) = 0;$$ $$64 — 16x + x^2 — 16x — 64 = 0;$$ $$x^2 — 32x = 0;$$ $$x(x — 32) = 0;$$ $$x_1 = 0, \, x_2 = 32;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x + 4 \geq 0, \, отсюда \, x \geq -4;$$ $$8 — x \geq 0, \, отсюда \, x \leq 8;$$

Первая касательная:

$$y'(x) = (8 — x)’ = -1;$$ $$k = y'(0) = -1;$$ $$a = \arctg(1) = \frac{\pi}{4};$$

Вторая касательная:

$$y'(x) = 4(x + 4)^{1/2} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (x + 4)^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{x + 4}};$$ $$k = y'(0) = \frac{2}{\sqrt{0 + 4}} = \frac{2}{2} = 1;$$ $$a = \arctg(1) = \frac{\pi}{4};$$

Угол между касательными:

$$\beta = \frac{\pi}{4} — \left( — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

$y = \frac{1}{2}(x + 1)^2$ и $y = \frac{1}{2}(x — 1)^2$

Точка пересечения кривых:

$$\frac{1}{2}(x + 1)^2 — \frac{1}{2}(x — 1)^2 = 0;$$ $$\frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1 — x^2 + 2x — 1) = 0;$$ $$4x = 0, \, отсюда \, x = 0;$$

Первая касательная:

$$y'(x) = \frac{1}{2}(x + 1)^2)’ = \frac{1}{2} \cdot 2(x + 1) = x + 1;$$ $$k = y'(0) = 0 + 1 = 1;$$ $$a = \arctg(1) = \frac{\pi}{4};$$

Вторая касательная:

$$y'(x) = \frac{1}{2}(x — 1)^2)’ = \frac{1}{2} \cdot 2(x — 1) = x — 1;$$ $$k = y'(0) = 0 — 1 = -1;$$ $$a = \arctg(-1) = -\frac{\pi}{4};$$

Угол между касательными:

$$\beta = \frac{\pi}{4} — \left( — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

$y = \ln(1 + x)$ и $y = \ln(1 — x)$

Точка пересечения кривых:

$$\ln(1 + x) = \ln(1 — x);$$ $$1 + x = 1 — x;$$ $$2x = 0, \, отсюда \, x = 0;$$

Первая касательная:

$$y'(x) = (\ln(1 + x))’ = \frac{1}{1 + x};$$ $$k = y'(0) = \frac{1}{1 + 0} = 1;$$ $$a = \arctg(1) = \frac{\pi}{4};$$

Вторая касательная:

$$y'(x) = (\ln(1 — x))’ = \frac{-1}{1 — x};$$ $$k = y'(0) = \frac{-1}{1 — 0} = -1;$$ $$a = \arctg(-1) = -\frac{\pi}{4};$$

Угол между касательными:

$$\beta = \frac{\pi}{4} — \left( — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

$y = e^x$ и $y = e^{-x}$

Точка пересечения кривых:

$$e^x = e^{-x};$$ $$x = -x;$$ $$2x = 0, \, отсюда \, x = 0;$$

Первая касательная:

$$y'(x) = (e^x)’ = e^x;$$ $$k = y'(0) = e^0 = 1;$$ $$a = \arctg(1) = \frac{\pi}{4};$$

Вторая касательная:

$$y'(x) = (e^{-x})’ = -e^{-x};$$ $$k = y'(0) = -e^0 = -1;$$ $$a = \arctg(-1) = -\frac{\pi}{4};$$

Угол между касательными:

$$\beta = \frac{\pi}{4} — \left( — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

1. $y = 8 — x$ и $y = 4\sqrt{x + 4}$

Точка пересечения кривых:

Найдем точку пересечения этих двух кривых, приравняв их правые части:

$$8 — x = 4\sqrt{x + 4}$$

Теперь избавимся от квадратного корня. Для этого обе части уравнения возведем в квадрат:

$$(8 — x)^2 = (4\sqrt{x + 4})^2$$ $$(8 — x)^2 = 16(x + 4)$$

Раскроем скобки:

$$64 — 16x + x^2 = 16(x + 4)$$ $$64 — 16x + x^2 = 16x + 64$$

Теперь перенесем все в одну сторону:

$$64 — 16x + x^2 — 16x — 64 = 0$$ $$x^2 — 32x = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$x(x — 32) = 0$$

Таким образом, получаем два решения:

$$x_1 = 0, \quad x_2 = 32$$

Теперь подставим $x_1 = 0$ и $x_2 = 32$ в одно из уравнений для нахождения соответствующих значений $y$.

Подставим $x = 0$ в $y = 8 — x$:

$$y = 8 — 0 = 8$$

Подставим $x = 32$ в $y = 8 — x$:

$$y = 8 — 32 = -24$$

Таким образом, точки пересечения: $(0, 8)$ и $(32, -24)$.

Условия существования выражений:

Для того чтобы выражение $y = 4\sqrt{x + 4}$ имело смысл, должно выполняться условие:

$$x + 4 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -4$$

А для второго выражения $y = 8 — x$ должно быть выполнено условие:

$$8 — x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 8$$

Таким образом, $x$ должно лежать в пределах от $-4$ до $8$.

Первая касательная:

Для нахождения касательной вычислим производную функции $y = 8 — x$:

$$y'(x) = -1$$

Касательная к графику функции в точке $x = 0$ будет иметь угол наклона $k = -1$. Это означает, что наклон касательной равен $-1$.

Следовательно, уравнение первой касательной:

$$y — y_0 = k(x — x_0)$$

где $x_0 = 0$, $y_0 = 8$, $k = -1$:

$$y — 8 = -1(x — 0)$$ $$y = -x + 8$$

Вторая касательная:

Для второй функции $y = 4\sqrt{x + 4}$, сначала найдем её производную.

$$y'(x) = \frac{d}{dx} \left( 4\sqrt{x + 4} \right)$$

Используем правило дифференцирования для корня:

$$y'(x) = 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x + 4}} \cdot 1 = \frac{2}{\sqrt{x + 4}}$$

Подставляем $x = 0$ для нахождения наклона касательной в точке пересечения:

$$y'(0) = \frac{2}{\sqrt{0 + 4}} = \frac{2}{2} = 1$$

Таким образом, угол наклона второй касательной $k = 1$.

Уравнение второй касательной:

$$y — y_0 = k(x — x_0)$$

где $x_0 = 0$, $y_0 = 8$, $k = 1$:

$$y — 8 = 1(x — 0)$$ $$y = x + 8$$

Угол между касательными:

Теперь вычислим угол между двумя касательными. Используем формулу для угла между двумя прямыми:

$$\tan(\beta) = \left| \frac{k_1 — k_2}{1 + k_1 k_2} \right|$$

где $k_1 = -1$, $k_2 = 1$:

$$\tan(\beta) = \left| \frac{-1 — 1}{1 + (-1)(1)} \right| = \left| \frac{-2}{0} \right|$$

Это значение стремится к бесконечности, что означает, что угол между касательными равен $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

2. $y = \frac{1}{2}(x + 1)^2$ и $y = \frac{1}{2}(x — 1)^2$

Точка пересечения кривых:

Приравниваем правые части уравнений:

$$\frac{1}{2}(x + 1)^2 = \frac{1}{2}(x — 1)^2$$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:

$$(x + 1)^2 = (x — 1)^2$$

Теперь раскроем скобки:

$$x^2 + 2x + 1 = x^2 — 2x + 1$$

Упростим уравнение:

$$x^2 + 2x + 1 — x^2 + 2x — 1 = 0$$ $$4x = 0$$

Отсюда $x = 0$.

Подставляем $x = 0$ в одно из уравнений для нахождения $y$:

$$y = \frac{1}{2}(0 + 1)^2 = \frac{1}{2}(1)^2 = \frac{1}{2}$$

Точка пересечения: $(0, \frac{1}{2})$.

Первая касательная:

Найдем производную от функции $y = \frac{1}{2}(x + 1)^2$:

$$y'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2(x + 1) = x + 1$$

Подставляем $x = 0$:

$$y'(0) = 0 + 1 = 1$$

Наклон касательной $k = 1$.

Уравнение первой касательной:

$$y — y_0 = k(x — x_0)$$

где $x_0 = 0$, $y_0 = \frac{1}{2}$, $k = 1$:

$$y — \frac{1}{2} = 1(x — 0)$$ $$y = x + \frac{1}{2}$$

Вторая касательная:

Для второй функции $y = \frac{1}{2}(x — 1)^2$, аналогично находим производную:

$$y'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2(x — 1) = x — 1$$

Подставляем $x = 0$:

$$y'(0) = 0 — 1 = -1$$

Наклон касательной $k = -1$.

Уравнение второй касательной:

$$y — y_0 = k(x — x_0)$$

где $x_0 = 0$, $y_0 = \frac{1}{2}$, $k = -1$:

$$y — \frac{1}{2} = -1(x — 0)$$ $$y = -x + \frac{1}{2}$$

Угол между касательными:

Используем ту же формулу для угла между двумя прямыми:

$$\tan(\beta) = \left| \frac{k_1 — k_2}{1 + k_1 k_2} \right|$$

где $k_1 = 1$, $k_2 = -1$:

$$\tan(\beta) = \left| \frac{1 — (-1)}{1 + 1 \cdot (-1)} \right| = \left| \frac{2}{0} \right|$$

Это значение стремится к бесконечности, значит угол между касательными равен $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

3. $y = \ln(1 + x)$ и $y = \ln(1 — x)$

Точка пересечения кривых:

Для того чтобы найти точку пересечения кривых, приравняем правые части:

$$\ln(1 + x) = \ln(1 — x)$$

Так как логарифм является функцией, которая строго возрастающая, можно приравнять аргументы:

$$1 + x = 1 — x$$

Переносим $x$ на одну сторону:

$$2x = 0$$

Отсюда:

$$x = 0$$

Теперь подставим $x = 0$ в одно из уравнений для нахождения $y$:

$$y = \ln(1 + 0) = \ln(1) = 0$$

Таким образом, точка пересечения: $(0, 0)$.

Первая касательная:

Найдем производную функции $y = \ln(1 + x)$:

$$y'(x) = \frac{1}{1 + x}$$

Подставляем $x = 0$:

$$y'(0) = \frac{1}{1 + 0} = 1$$

Касательная имеет наклон $k = 1$. Уравнение касательной:

$$y — y_0 = k(x — x_0)$$

где $x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $k = 1$:

$$y — 0 = 1(x — 0)$$ $$y = x$$

Вторая касательная:

Теперь найдем производную функции $y = \ln(1 — x)$:

$$y'(x) = \frac{-1}{1 — x}$$

Подставляем $x = 0$:

$$y'(0) = \frac{-1}{1 — 0} = -1$$

Касательная имеет наклон $k = -1$. Уравнение касательной:

$$y — y_0 = k(x — x_0)$$

где $x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $k = -1$:

$$y — 0 = -1(x — 0)$$ $$y = -x$$

Угол между касательными:

Теперь вычислим угол между двумя касательными с наклонами $k_1 = 1$ и $k_2 = -1$. Формула для угла между прямыми:

$$\tan(\beta) = \left| \frac{k_1 — k_2}{1 + k_1 k_2} \right|$$

Подставляем значения:

$$\tan(\beta) = \left| \frac{1 — (-1)}{1 + 1 \cdot (-1)} \right| = \left| \frac{2}{0} \right|$$

Так как результат деления на ноль стремится к бесконечности, это означает, что угол между касательными равен $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

4. $y = e^x$ и $y = e^{-x}$

Точка пересечения кривых:

Приравняем правые части уравнений:

$$e^x = e^{-x}$$

Для того чтобы решить это уравнение, умножим обе части на $e^x$, чтобы избавиться от отрицательной степени:

$$e^{2x} = 1$$

Решение этого уравнения:

$$2x = 0$$

Отсюда:

$$x = 0$$

Теперь подставим $x = 0$ в одно из уравнений для нахождения $y$:

$$y = e^0 = 1$$

Таким образом, точка пересечения: $(0, 1)$.

Первая касательная:

Найдем производную функции $y = e^x$:

$$y'(x) = e^x$$

Подставляем $x = 0$:

$$y'(0) = e^0 = 1$$

Наклон касательной $k = 1$. Уравнение первой касательной:

$$y — y_0 = k(x — x_0)$$

где $x_0 = 0$, $y_0 = 1$, $k = 1$:

$$y — 1 = 1(x — 0)$$ $$y = x + 1$$

Вторая касательная:

Найдем производную функции $y = e^{-x}$:

$$y'(x) = -e^{-x}$$

Подставляем $x = 0$:

$$y'(0) = -e^0 = -1$$

Наклон касательной $k = -1$. Уравнение второй касательной:

$$y — y_0 = k(x — x_0)$$

где $x_0 = 0$, $y_0 = 1$, $k = -1$:

$$y — 1 = -1(x — 0)$$ $$y = -x + 1$$

Угол между касательными:

Используем формулу для угла между прямыми:

$$\tan(\beta) = \left| \frac{k_1 — k_2}{1 + k_1 k_2} \right|$$

Подставляем значения:

$$\tan(\beta) = \left| \frac{1 — (-1)}{1 + 1 \cdot (-1)} \right| = \left| \frac{2}{0} \right|$$

Так как результат деления на ноль стремится к бесконечности, это означает, что угол между касательными равен $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$