ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 988 Алимов — Подробные Ответы

Найти одну из первообразных функции (988—990).

1. 2х5-3х2;
2. 5х4 + 2х3;
3. 2/x + 3/x2;
4. 2/x3 — 3/x;
5. 6х2 — 4x + 3;
6. 4 корень 3 степени х — 6 корень x.

1. $f(x) = 2x^5 — 3x^2$;
   $F(x) = 2 \cdot \frac{x^6}{6} — 3 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{x^6}{3} — x^3 + C$;
2. $f(x) = 5x^4 + 2x^3$;
   $F(x) = 5 \cdot \frac{x^5}{5} + 2 \cdot \frac{x^4}{4} = x^5 + \frac{x^4}{2} + C$;
3. $f(x) = \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} = 2 \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot x^{-2}$;
   $F(x) = 2 \cdot \ln x + 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = 2 \ln x — \frac{3}{x} + C$;
4. $f(x) = \frac{2}{x^3} — \frac{3}{x} = 2 \cdot x^{-3} — 3 \cdot \frac{1}{x}$;
   $F(x) = 2 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} — 3 \cdot \ln x = -\frac{1}{x^2} — 3 \ln x + C$;
5. $f(x) = 6x^2 — 4x + 3 = 6x^2 — 4x + 3x^0$;
   $F(x) = 6 \cdot \frac{x^3}{3} — 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 3 \cdot \frac{x^1}{1} = 2x^3 — 2x^2 + 3x + C$;
6. $f(x) = 4\sqrt[3]{x} — 6\sqrt{x} = 4 \cdot x^{\frac{1}{3}} — 6 \cdot x^{\frac{1}{2}}$;
   $F(x) = 4 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} — 6 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}$;
   $F(x) = 4 \cdot \frac{3}{4} \cdot x^{\frac{4}{3}} \sqrt[3]{x} — 6 \cdot \frac{2}{3} \cdot x \sqrt{x} = 3x^{\frac{4}{3}} \sqrt[3]{x} — 4x \sqrt{x} + C$

Задача 1:

Дано:
$f(x) = 2x^5 — 3x^2.$
Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Для нахождения первообразной используем стандартные правила интегрирования степенных функций:

• Интеграл от $x^n$ равен $\frac{x^{n+1}}{n+1}$, где $n \neq -1$.

Таким образом, интегрируем $f(x) = 2x^5 — 3x^2$:

Интегрируем $2x^5$:

$$\int 2x^5 \, dx = 2 \cdot \frac{x^{6}}{6} = \frac{x^6}{3}.$$

Интегрируем $-3x^2$:

$$\int -3x^2 \, dx = -3 \cdot \frac{x^3}{3} = -x^3.$$

Итак, первообразная будет:

$$F(x) = \frac{x^6}{3} — x^3 + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = \frac{x^6}{3} — x^3 + C$.

Задача 2:

Дано:
$f(x) = 5x^4 + 2x^3.$
Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Используем те же правила интегрирования для каждого слагаемого:

Интегрируем $5x^4$:

$$\int 5x^4 \, dx = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5.$$

Интегрируем $2x^3$:

$$\int 2x^3 \, dx = 2 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{2}.$$

Итак, первообразная будет:

$$F(x) = x^5 + \frac{x^4}{2} + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = x^5 + \frac{x^4}{2} + C$.

Задача 3:

Дано:
$f(x) = \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} = 2 \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot x^{-2}.$
Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Используем правило интегрирования для степенных функций:

Интегрируем $2 \cdot \frac{1}{x} = 2x^{-1}$:

$$\int 2x^{-1} \, dx = 2 \ln |x|.$$

Интегрируем $3x^{-2}$:

$$\int 3x^{-2} \, dx = 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{3}{x}.$$

Итак, первообразная будет:

$$F(x) = 2 \ln |x| — \frac{3}{x} + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = 2 \ln |x| — \frac{3}{x} + C$.

Задача 4:

Дано:
$f(x) = \frac{2}{x^3} — \frac{3}{x} = 2 \cdot x^{-3} — 3 \cdot x^{-1}.$
Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Используем те же правила интегрирования для степенных функций:

Интегрируем $2x^{-3}$:

$$\int 2x^{-3} \, dx = 2 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{x^2}.$$

Интегрируем $-3x^{-1}$:

$$\int -3x^{-1} \, dx = -3 \ln |x|.$$

Итак, первообразная будет:

$$F(x) = -\frac{1}{x^2} — 3 \ln |x| + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x^2} — 3 \ln |x| + C$.

Задача 5:

Дано:
$f(x) = 6x^2 — 4x + 3 = 6x^2 — 4x + 3x^0.$
Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Используем те же правила интегрирования для степенных функций:

Интегрируем $6x^2$:

$$\int 6x^2 \, dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3.$$

Интегрируем $-4x$:

$$\int -4x \, dx = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2.$$

Интегрируем $3x^0 = 3$:

$$\int 3 \, dx = 3x.$$

Итак, первообразная будет:

$$F(x) = 2x^3 — 2x^2 + 3x + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = 2x^3 — 2x^2 + 3x + C$.

Задача 6:

Дано:
$f(x) = 4\sqrt[3]{x} — 6\sqrt{x} = 4 \cdot x^{\frac{1}{3}} — 6 \cdot x^{\frac{1}{2}}.$
Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Интегрируем $4x^{\frac{1}{3}}$:

$$\int 4x^{\frac{1}{3}} \, dx = 4 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} = 3x^{\frac{4}{3}}.$$

Интегрируем $-6x^{\frac{1}{2}}$:

$$\int -6x^{\frac{1}{2}} \, dx = -6 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = -4x^{\frac{3}{2}}.$$

Итак, первообразная будет:

$$F(x) = 3x^{\frac{4}{3}} — 4x^{\frac{3}{2}} + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = 3x^{\frac{4}{3}} — 4x^{\frac{3}{2}} + C$.