ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1614 Алимов — Подробные Ответы

1. log|2x+1| (x2) > =2;
2. logx2|3x+1| < 1/2.

1) $\log_{|2x+1|} x^2 \geq 2$;

$$\log_{\sqrt{(2x+1)^2}} x^2 \geq \log_{\sqrt{(2x+1)^2}} (2x+1)^2;$$

Основание логарифма:

$$\sqrt{(2x+1)^2} > 1;$$ $$(2x+1)^2 > 1;$$ $$4x^2 + 4x + 1 > 1;$$ $$4x^2 + 4x > 0;$$ $$x^2 + x > 0;$$ $$(x+1) \cdot x > 0;$$ $$x < -1 \text{ и } x > 0;$$

Если $x < -1$ или $x > 0$, тогда:

$$x^2 \geq (2x+1)^2;$$ $$x^2 \geq 4x^2 + 4x + 1;$$ $$3x^2 + 4x + 1 \leq 0;$$

$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$, тогда:

$$x_1 = \frac{-4 — 2}{2 \cdot 3} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4 + 2}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3};$$ $$(x+1)\left(x + \frac{1}{3}\right) \leq 0;$$ $$-1 \leq x \leq -\frac{1}{3};$$

Если $-1 < x < 0$, тогда:

$$x^2 \leq (2x+1)^2;$$ $$(x+1)\left(x + \frac{1}{3}\right) \geq 0;$$ $$x \leq -1 \text{ и } x \geq -\frac{1}{3};$$

Ответ: $-\frac{1}{3} \leq x < 0$.

2) $\log_{x^2} |3x+1| < \frac{1}{2}$;

$$2 \cdot \log_{x^2} \sqrt{(3x+1)^2} < 1;$$ $$\log_{x^2} (3x+1)^2 < \log_{x^2} x^2;$$

Основание логарифма:

$$x^2 > 1;$$ $$x < -1 \text{ и } x > 1;$$

Если $x < -1$ или $x > 1$, тогда:

$$(3x+1)^2 < x^2;$$ $$9x^2 + 6x + 1 < x^2;$$ $$8x^2 + 6x + 1 < 0;$$

$D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$, тогда:

$$x_1 = \frac{-6 — 2}{2 \cdot 8} = -\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-6 + 2}{2 \cdot 8} = -\frac{1}{4};$$ $$\left(x + \frac{1}{2}\right)\left(x + \frac{1}{4}\right) < 0;$$ $$-\frac{1}{2} < x < -\frac{1}{4};$$

Если $-1 < x < 1$, тогда:

$$(3x+1)^2 > x^2;$$ $$\left(x + \frac{1}{2}\right)\left(x + \frac{1}{4}\right) > 0;$$ $$x < -\frac{1}{2} \text{ и } x > -\frac{1}{4};$$

Выражение имеет смысл при:

$$x \neq 0 \text{ и } x \neq \pm 1;$$

Ответ: $-1 < x < -\frac{1}{2}; \quad -\frac{1}{4} < x < 0; \quad 0 < x < 1$.

Задача 1:

Неравенство:

$$\log_{|2x+1|} x^2 \geq 2$$

Шаг 1: Преобразование логарифма

Мы начинаем с того, что переводим выражение в более удобную форму. Сначала преобразуем логарифм с основанием $|2x+1|$. Напоминаем, что если у нас есть выражение вида $\log_a b = c$, то это эквивалентно:

$$a^c = b.$$

В нашем случае $\log_{|2x+1|} x^2 \geq 2$ можно переписать как:

$$|2x+1|^2 \geq x^2.$$

Так как $|2x+1|$ — это выражение с модулем, то после возведения в квадрат мы убираем модуль:

$$(2x+1)^2 \geq x^2.$$

Шаг 2: Исследуем выражение $(2x+1)^2 \geq x^2$

Теперь давайте раскроем квадрат и решим неравенство:

$$(2x+1)^2 \geq x^2$$

Раскрываем квадрат:

$$4x^2 + 4x + 1 \geq x^2.$$

Переносим все члены в одну сторону:

$$4x^2 + 4x + 1 — x^2 \geq 0$$ $$3x^2 + 4x + 1 \geq 0.$$

Это квадратичное неравенство. Для его решения найдем дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 4^2 — 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 — 12 = 4.$$

Корни уравнения $3x^2 + 4x + 1 = 0$ находятся по формуле:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 — \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 — 2}{6} = -1,$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 2}{6} = -\frac{1}{3}.$$

Теперь факторизуем выражение:

$$3x^2 + 4x + 1 = (x + 1)(3x + 1).$$

Решение неравенства $(x + 1)(3x + 1) \geq 0$ требует анализа знаков на интервалах, определённых корнями $x = -1$ и $x = -\frac{1}{3}$.

• Для $x < -1$ оба множителя $(x+1)$ и $(3x+1)$ отрицательны, поэтому произведение положительное.
• Для $-1 < x < -\frac{1}{3}$ множитель $(x+1)$ положителен, а $(3x+1)$ отрицателен, поэтому произведение отрицательное.
• Для $x > -\frac{1}{3}$ оба множителя положительны, поэтому произведение положительное.

Таким образом, неравенство выполняется на промежутках:

$$x \in (-\infty, -1] \cup \left[-\frac{1}{3}, \infty \right).$$

Шаг 3: Условия для логарифма

Для того чтобы логарифм $\log_{|2x+1|} x^2$ имел смысл, необходимо, чтобы основание логарифма было больше 0 и не равно 1. То есть:

$$|2x+1| > 1.$$

Рассмотрим это условие:

$$|2x + 1| > 1 \quad \Rightarrow \quad 2x + 1 > 1 \quad \text{или} \quad 2x + 1 < -1.$$

Первое неравенство:

$$2x + 1 > 1 \quad \Rightarrow \quad 2x > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 0.$$

Второе неравенство:

$$2x + 1 < -1 \quad \Rightarrow \quad 2x < -2 \quad \Rightarrow \quad x < -1.$$

Таким образом, условие для основания логарифма даёт $x > 0$ или $x < -1$.

Шаг 4: Объединение условий

Теперь мы объединяем полученные условия:

• Мы получили, что неравенство выполняется на интервалах $x \in (-\infty, -1] \cup \left[-\frac{1}{3}, \infty \right)$.
• Условие для основания логарифма даёт $x < -1$ или $x > 0$.

Таким образом, пересечение этих двух условий даёт:

$$x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty).$$

Ответ:

$$x \geq 2.$$

Задача 2:

Неравенство:

$$\log_{x^2} |3x+1| < \frac{1}{2}$$

Шаг 1: Перепишем неравенство

Начнем с того, что преобразуем неравенство:

$$\log_{x^2} |3x+1| < \frac{1}{2}$$

Сначала избавляемся от логарифма, используя определение логарифма. Мы можем переписать это как:

$$|3x+1| < (x^2)^{1/2} = |x|.$$

Это эквивалентно:

$$|3x+1| < |x|.$$

Шаг 2: Решение неравенства

Теперь решим неравенство $|3x+1| < |x|$.

Для этого нужно рассмотреть два случая для $x$ — положительные и отрицательные значения.

1. Для $x > 0$:

   $$3x + 1 < x \quad \Rightarrow \quad 2x < -1 \quad \Rightarrow \quad x < -\frac{1}{2}.$$

   Это противоречит нашему условию $x > 0$, поэтому для положительных $x$ неравенство не выполняется.

2. Для $x < 0$:

   $$-(3x + 1) < -x \quad \Rightarrow \quad -3x — 1 < -x \quad \Rightarrow \quad -2x < 1 \quad \Rightarrow \quad x > -\frac{1}{2}.$$

   Таким образом, для $x < 0$ решение данного неравенства — $-\frac{1}{2} < x < 0$.

Шаг 3: Условия для логарифма

Для того чтобы логарифм $\log_{x^2} |3x+1|$ имел смысл, необходимо, чтобы основание $x^2 > 1$. То есть:

$$x > 1 \quad \text{или} \quad x < -1.$$

Таким образом, $x$ должно быть либо больше 1, либо меньше -1.

Шаг 4: Объединение условий

Теперь давайте объединим найденные условия:

1. Из условия логарифма получаем $x > 1$ или $x < -1$.
2. Из решения неравенства $|3x+1| < |x|$ мы получили $-\frac{1}{2} < x < 0$.

Таким образом, пересечение этих условий даёт:

$$x \in (-1, 0) \cup (0, 1).$$

Ответ:

$$-1 < x < -\frac{1}{2}; \quad -\frac{1}{4} < x < 0; \quad 0 < x < 1.$$

Итоговые ответы:

1. $x \geq 2$.
2. $-1 < x < -\frac{1}{2}; \quad -\frac{1}{4} < x < 0; \quad 0 < x < 1$.