ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1106 Алимов — Подробные Ответы

Записать разложение бинома:

1. (2-x)5;
2. (x-5)5;
3. (a+3)4;
4. (3+a)5;
5. (x-1)8;
6. (1-x)7;
7. (x+1/x)6;
8. (2a+1/2)6.

Для нахождения биномиальных коэффициентов воспользуемся треугольником Паскаля, представленным на странице 331 учебника

Бином Ньютона:

$$(a + b)^m = C_m^0 \cdot a^m + C_m^1 \cdot a^{m-1} \cdot b + C_m^2 \cdot a^{m-2} \cdot b^2 + \cdots + C_m^m \cdot b^m;$$

1. $(2 — x)^5 = 1 \cdot 2^5 + 5 \cdot 2^4 \cdot (-x) + 10 \cdot 2^3 \cdot (-x)^2 + 10 \cdot 2^2 \cdot (-x)^3 +$
   $+ 5 \cdot 2 \cdot (-x)^4 + (-x)^5 = 32 — 5 \cdot 16x + 10 \cdot 8x^2 — 10 \cdot 4x^3 + 10x^4 — x^5 =$
   $= 32 — 80x + 80x^2 — 40x^3 + 10x^4 — x^5;$
2. $(x — 2)^4 = x^4 + 4 \cdot x^3 \cdot (-2) + 6 \cdot x^2 \cdot (-2)^2 + 4 \cdot x \cdot (-2)^3 + (-2)^4 =$
   $= x^4 — 8x^3 + 6 \cdot 4x^2 — 4 \cdot 8x + 16 = x^4 — 8x^3 + 24x^2 — 32x + 16;$
3. $(a + 3)^4 = 1 \cdot a^4 + 4 \cdot a^3 \cdot 3 + 6 \cdot a^2 \cdot 3^2 + 4 \cdot a \cdot 3^3 + 1 \cdot 3^4 =$
   $= a^4 \cdot 12a^3 + 6 \cdot 9a^2 + 4 \cdot 27a + 81 = a^4 + 12a^3 + 54a^2 + 108a + 81;$
4. $(3 + a)^5 = 3^5 + 5 \cdot 3^4 \cdot a + 10 \cdot 3^3 \cdot a^2 + 10 \cdot 3^2 \cdot a^3 + 5 \cdot 3 \cdot a^4 + a^5 =$
   $= 243 + 5 \cdot 81a + 10 \cdot 27a^2 + 10 \cdot 9a^3 + 15a^4 + a^5 =$
   $= 243 + 405a + 270a^2 + 90a^3 + 15a^4 + a^5;$
5. $(x — 1)^8 = 1 \cdot x^8 + 8 \cdot x^7 \cdot (-1) + 28 \cdot x^6 \cdot (-1)^2 + 56 \cdot x^5 \cdot (-1)^3 +$
   $+ 70 \cdot x^4 \cdot (-1)^4 + 56 \cdot x^3 \cdot (-1)^5 + 28 \cdot x^2 \cdot (-1)^6 + 8 \cdot x \cdot (-1)^7 + (-1)^8 =$
   $= x^8 — 8x^7 + 28x^6 — 56x^5 + 70x^4 — 56x^3 + 28x^2 — 8x + 1;$
6. $(1 — x)^7 = 1 \cdot 1^7 + 7 \cdot 1^6 \cdot (-x) + 21 \cdot 1^5 \cdot (-x)^2 + 35 \cdot 1^4 \cdot (-x)^3 +$
   $+ 35 \cdot 1^3 \cdot (-x)^4 + 21 \cdot 1^2 \cdot (-x)^5 + 7 \cdot 1 \cdot (-x)^6 + 1 \cdot (-x)^7 =$
   $= 1 — 7x + 21x^2 — 35x^3 + 35x^4 — 21x^5 + 7x^6 — x^7;$
7. $\left(x + \frac{1}{x}\right)^6 = 1 \cdot x^6 + 6 \cdot x^5 \cdot \left(\frac{1}{x}\right) + 15 \cdot x^4 \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^2 + 20 \cdot x^3 \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^3 +$
   $+ 15 \cdot x^2 \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^4 + 6 \cdot x \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^5 + 1 \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^6 =$
   $= x^6 + 6x^4 + 15x^2 + 20 + 15x^{-2} + 6x^{-4} + x^{-6};$
8. $\left(2a + \frac{1}{2}\right)^6 = 1 \cdot (2a)^6 + 6 \cdot (2a)^5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) + 15 \cdot (2a)^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 +$
   $+ 20 \cdot (2a)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 + 15 \cdot (2a)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 + 6 \cdot (2a) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 + 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 =$
   $= 2^6a^6 + 6 \cdot 2^5a^5 \cdot \frac{1}{2} + 15 \cdot 2^4a^4 \cdot \frac{1}{4} + 20 \cdot 2^3a^3 \cdot \frac{1}{8} + 15 \cdot 2^2a^2 \cdot \frac{1}{16} + 6 \cdot 2a \cdot \frac{1}{32} + \frac{1}{64} =$
   $= 64a^6 + 96a^5 + 60a^4 + 20a^3 + \frac{15}{4}a^2 + \frac{3}{8}a + \frac{1}{64};$

Бином Ньютона — это формула для разложения степени бинома на сумму. Она записывается следующим образом:

$$(a + b)^m = \sum_{k=0}^{m} C_m^k \cdot a^{m-k} \cdot b^k$$

где $C_m^k$ — это биномиальный коэффициент, который определяется как:

$$C_m^k = \frac{m!}{k!(m-k)!}$$

В данной задаче мы будем использовать разложение бинома Ньютона, чтобы получить разложение каждого из выражений.

1) $(2 — x)^5$

Нам нужно разложить $(2 — x)^5$ по формулам бинома Ньютона.

Для $(a + b)^m$ подставляем $a = 2$, $b = -x$, и $m = 5$:

$$(2 — x)^5 = \sum_{k=0}^{5} C_5^k \cdot 2^{5-k} \cdot (-x)^k$$

Теперь вычислим каждый из коэффициентов и членов суммы:

• $C_5^0 = 1$, так что первый член: $2^5 = 32$
• $C_5^1 = 5$, так что второй член: $5 \cdot 2^4 \cdot (-x) = 5 \cdot 16 \cdot (-x) = -80x$
• $C_5^2 = 10$, так что третий член: $10 \cdot 2^3 \cdot (-x)^2 = 10 \cdot 8 \cdot x^2 = 80x^2$
• $C_5^3 = 10$, так что четвертый член: $10 \cdot 2^2 \cdot (-x)^3 = 10 \cdot 4 \cdot (-x^3) = -40x^3$
• $C_5^4 = 5$, так что пятый член: $5 \cdot 2 \cdot (-x)^4 = 5 \cdot 2 \cdot x^4 = 10x^4$
• $C_5^5 = 1$, так что шестой член: $(-x)^5 = -x^5$

Теперь, объединяя все эти члены, получаем:

$$(2 — x)^5 = 32 — 80x + 80x^2 — 40x^3 + 10x^4 — x^5$$

Ответ: Разложение $(2 — x)^5 = 32 — 80x + 80x^2 — 40x^3 + 10x^4 — x^5$.

2) $(x — 2)^4$

Теперь разложим $(x — 2)^4$, где $a = x$, $b = -2$, и $m = 4$.

Используем теорему Ньютона:

$$(x — 2)^4 = \sum_{k=0}^{4} C_4^k \cdot x^{4-k} \cdot (-2)^k$$

Теперь вычислим каждый из коэффициентов и членов:

• $C_4^0 = 1$, так что первый член: $x^4$
• $C_4^1 = 4$, так что второй член: $4 \cdot x^3 \cdot (-2) = -8x^3$
• $C_4^2 = 6$, так что третий член: $6 \cdot x^2 \cdot (-2)^2 = 6 \cdot x^2 \cdot 4 = 24x^2$
• $C_4^3 = 4$, так что четвертый член: $4 \cdot x \cdot (-2)^3 = 4 \cdot x \cdot (-8) = -32x$
• $C_4^4 = 1$, так что пятый член: $(-2)^4 = 16$

Теперь, объединяя все эти члены, получаем:

$$(x — 2)^4 = x^4 — 8x^3 + 24x^2 — 32x + 16$$

Ответ: Разложение $(x — 2)^4 = x^4 — 8x^3 + 24x^2 — 32x + 16$.

3) $(a + 3)^4$

Здесь $a = a$, $b = 3$, и $m = 4$.

Разлагаем $(a + 3)^4$:

$$(a + 3)^4 = \sum_{k=0}^{4} C_4^k \cdot a^{4-k} \cdot 3^k$$

Вычислим каждый член:

• $C_4^0 = 1$, так что первый член: $a^4$
• $C_4^1 = 4$, так что второй член: $4 \cdot a^3 \cdot 3 = 12a^3$
• $C_4^2 = 6$, так что третий член: $6 \cdot a^2 \cdot 3^2 = 6 \cdot a^2 \cdot 9 = 54a^2$
• $C_4^3 = 4$, так что четвертый член: $4 \cdot a \cdot 3^3 = 4 \cdot a \cdot 27 = 108a$
• $C_4^4 = 1$, так что пятый член: $3^4 = 81$

Теперь, объединяя все эти члены, получаем:

$$(a + 3)^4 = a^4 + 12a^3 + 54a^2 + 108a + 81$$

Ответ: Разложение $(a + 3)^4 = a^4 + 12a^3 + 54a^2 + 108a + 81$.

4) $(3 + a)^5$

Теперь разложим $(3 + a)^5$.

Здесь $a = a$, $b = 3$, и $m = 5$. Используем формулу бинома Ньютона:

$$(3 + a)^5 = \sum_{k=0}^{5} C_5^k \cdot a^{5-k} \cdot 3^k$$

Вычислим каждый член:

• $C_5^0 = 1$, так что первый член: $3^5 = 243$
• $C_5^1 = 5$, так что второй член: $5 \cdot 3^4 \cdot a = 5 \cdot 81 \cdot a = 405a$
• $C_5^2 = 10$, так что третий член: $10 \cdot 3^3 \cdot a^2 = 10 \cdot 27 \cdot a^2 = 270a^2$
• $C_5^3 = 10$, так что четвертый член: $10 \cdot 3^2 \cdot a^3 = 10 \cdot 9 \cdot a^3 = 90a^3$
• $C_5^4 = 5$, так что пятый член: $5 \cdot 3 \cdot a^4 = 5 \cdot 3 \cdot a^4 = 15a^4$
• $C_5^5 = 1$, так что шестой член: $a^5$

Теперь, объединяя все эти члены, получаем:

$$(3 + a)^5 = 243 + 405a + 270a^2 + 90a^3 + 15a^4 + a^5$$

Ответ: Разложение $(3 + a)^5 = 243 + 405a + 270a^2 + 90a^3 + 15a^4 + a^5$.

5) $(x — 1)^8$

Теперь разложим $(x — 1)^8$.

Здесь $a = x$, $b = -1$, и $m = 8$:

$$(x — 1)^8 = \sum_{k=0}^{8} C_8^k \cdot x^{8-k} \cdot (-1)^k$$

Вычисляем члены:

• $C_8^0 = 1$, первый член: $x^8$
• $C_8^1 = 8$, второй член: $8 \cdot x^7 \cdot (-1) = -8x^7$
• $C_8^2 = 28$, третий: $28 \cdot x^6 \cdot 1 = 28x^6$
• $C_8^3 = 56$, четвертый: $56 \cdot x^5 \cdot (-1) = -56x^5$
• $C_8^4 = 70$, пятый: $70 \cdot x^4 \cdot 1 = 70x^4$
• $C_8^5 = 56$, шестой: $56 \cdot x^3 \cdot (-1) = -56x^3$
• $C_8^6 = 28$, седьмой: $28 \cdot x^2 \cdot 1 = 28x^2$
• $C_8^7 = 8$, восьмой: $8 \cdot x \cdot (-1) = -8x$
• $C_8^8 = 1$, последний: $(-1)^8 = 1$

Итак:

$$(x — 1)^8 = x^8 — 8x^7 + 28x^6 — 56x^5 + 70x^4 — 56x^3 + 28x^2 — 8x + 1$$

Ответ: Разложение $(x — 1)^8 = x^8 — 8x^7 + 28x^6 — 56x^5 + 70x^4 — 56x^3 + 28x^2 — 8x + 1$.

6) $(1 — x)^7$

Теперь разложим выражение $(1 — x)^7$, где $a = 1$, $b = -x$, и $m = 7$.

Используем теорему Ньютона для разложения:

$$(1 — x)^7 = \sum_{k=0}^{7} C_7^k \cdot 1^{7-k} \cdot (-x)^k$$

Для каждого члена:

• $C_7^0 = 1$, так что первый член: $1^7 = 1$
• $C_7^1 = 7$, так что второй член: $7 \cdot 1^6 \cdot (-x) = -7x$
• $C_7^2 = 21$, так что третий член: $21 \cdot 1^5 \cdot (-x)^2 = 21x^2$
• $C_7^3 = 35$, так что четвертый член: $35 \cdot 1^4 \cdot (-x)^3 = -35x^3$
• $C_7^4 = 35$, так что пятый член: $35 \cdot 1^3 \cdot (-x)^4 = 35x^4$
• $C_7^5 = 21$, так что шестой член: $21 \cdot 1^2 \cdot (-x)^5 = -21x^5$
• $C_7^6 = 7$, так что седьмой член: $7 \cdot 1^1 \cdot (-x)^6 = 7x^6$
• $C_7^7 = 1$, так что последний, восьмой, член: $(-x)^7 = -x^7$

Теперь, объединяя все члены, получаем:

$$(1 — x)^7 = 1 — 7x + 21x^2 — 35x^3 + 35x^4 — 21x^5 + 7x^6 — x^7$$

Ответ: Разложение $(1 — x)^7 = 1 — 7x + 21x^2 — 35x^3 + 35x^4 — 21x^5 + 7x^6 — x^7$.

7) $\left(x + \frac{1}{x}\right)^6$

Теперь разложим выражение $\left(x + \frac{1}{x}\right)^6$, где $a = x$, $b = \frac{1}{x}$, и $m = 6$.

Используем теорему Ньютона:

$$\left(x + \frac{1}{x}\right)^6 = \sum_{k=0}^{6} C_6^k \cdot x^{6-k} \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^k$$

В каждом члене для $\left(\frac{1}{x}\right)^k = x^{-k}$:

• $C_6^0 = 1$, так что первый член: $x^6$
• $C_6^1 = 6$, так что второй член: $6 \cdot x^5 \cdot \frac{1}{x} = 6x^4$
• $C_6^2 = 15$, так что третий член: $15 \cdot x^4 \cdot \frac{1}{x^2} = 15x^2$
• $C_6^3 = 20$, так что четвертый член: $20 \cdot x^3 \cdot \frac{1}{x^3} = 20$
• $C_6^4 = 15$, так что пятый член: $15 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x^4} = 15x^{-2}$
• $C_6^5 = 6$, так что шестой член: $6 \cdot x \cdot \frac{1}{x^5} = 6x^{-4}$
• $C_6^6 = 1$, так что последний, седьмой, член: $\left(\frac{1}{x}\right)^6 = x^{-6}$

Теперь, объединяя все эти члены, получаем:

$$\left(x + \frac{1}{x}\right)^6 = x^6 + 6x^4 + 15x^2 + 20 + 15x^{-2} + 6x^{-4} + x^{-6}$$

Ответ: Разложение $\left(x + \frac{1}{x}\right)^6 = x^6 + 6x^4 + 15x^2 + 20 + 15x^{-2} + 6x^{-4} + x^{-6}$.

8) $\left(2a + \frac{1}{2}\right)^6$

Последний пример, разложим $\left(2a + \frac{1}{2}\right)^6$, где $a = 2a$, $b = \frac{1}{2}$, и $m = 6$.

Используем формулу бинома Ньютона:

$$\left(2a + \frac{1}{2}\right)^6 = \sum_{k=0}^{6} C_6^k \cdot (2a)^{6-k} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^k$$

Вычислим каждый из членов:

• $C_6^0 = 1$, так что первый член: $(2a)^6 = 64a^6$
• $C_6^1 = 6$, так что второй член: $6 \cdot (2a)^5 \cdot \frac{1}{2} = 6 \cdot 32a^5 \cdot \frac{1}{2} = 96a^5$
• $C_6^2 = 15$, так что третий член: $15 \cdot (2a)^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 15 \cdot 16a^4 \cdot \frac{1}{4} = 60a^4$
• $C_6^3 = 20$, так что четвертый член: $20 \cdot (2a)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 20 \cdot 8a^3 \cdot \frac{1}{8} = 20a^3$
• $C_6^4 = 15$, так что пятый член: $15 \cdot (2a)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 15 \cdot 4a^2 \cdot \frac{1}{16} = \frac{15}{4}a^2$
• $C_6^5 = 6$, так что шестой член: $6 \cdot (2a) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 6 \cdot 2a \cdot \frac{1}{32} = \frac{6}{16}a = \frac{3}{8}a$
• $C_6^6 = 1$, так что последний, седьмой, член: $\left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64}$

Теперь, объединяя все эти члены, получаем:

$$\left(2a + \frac{1}{2}\right)^6 = 64a^6 + 96a^5 + 60a^4 + 20a^3 + \frac{15}{4}a^2 + \frac{3}{8}a + \frac{1}{64}$$

Ответ: Разложение $\left(2a + \frac{1}{2}\right)^6 = 64a^6 + 96a^5 + 60a^4 + 20a^3 + \frac{15}{4}a^2 + \frac{3}{8}a + \frac{1}{64}$.