ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 876 Алимов — Подробные Ответы

Найти значение производной функции f (х) в точке х0, если:

1. f(x) = cosxsinx, x0=пи/6;
2. f(x) = exlnx, x0=1;
3. f(x) = 2cosx/sinx, x0=пи/4;
4. f(x) = x/(1+ex), x0=0.

1) $f(x) = \cos x \cdot \sin x$ и $x_0 = \frac{\pi}{6}$;

$f'(x) = (\cos x)’ \cdot \sin x + \cos x \cdot (\sin x)’ = -\sin^2 x + \cos^2 x = \cos 2x$;

$f’\left( \frac{\pi}{6} \right) = \cos \left( 2 \cdot \frac{\pi}{6} \right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$;

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) $f(x) = e^x \cdot \ln x$ и $x_0 = 1$;

$f'(x) = (e^x)’ \cdot \ln x + e^x \cdot (\ln x)’ = e^x \cdot \ln x + e^x \cdot \frac{1}{x} = e^x \cdot \left( \ln x + \frac{1}{x} \right)$;

$f'(1) = e^1 \cdot \left( \ln 1 + \frac{1}{1} \right) = e \cdot (0 + 1) = e$;

Ответ: $e$.

3) $f(x) = \frac{2 \cos x}{\sin x}$ и $x_0 = \frac{\pi}{4}$;

$f'(x) = \frac{(2 \cos x)’ \cdot \sin x — 2 \cos x \cdot (\sin x)’}{\sin^2 x}$;

$f'(x) = \frac{-2 \sin x \cdot \sin x — 2 \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x}$;

$f'(x) = -2 \cdot \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x}$;

$f'(x) = -2 \cdot (1 + \operatorname{ctg}^2 x)$;

Значение производной:

$f’\left( \frac{\pi}{4} \right) = -2 \cdot \left( 1 + \operatorname{ctg}^2 \frac{\pi}{4} \right) = -2 \cdot (1 + 1^2) = -2 \cdot 2 = -4$;

Ответ: $-4$.

4) $f(x) = \frac{x}{1 + e^x}$ и $x_0 = 0$;

$f'(x) = \frac{(x)’ \cdot (1 + e^x) — x \cdot (1 + e^x)’}{(1 + e^x)^2}$;

$f'(x) = \frac{1 + e^x — x \cdot e^x}{(1 + e^x)^2}$;

Значение производной:

$f'(0) = \frac{1 + e^0 — 0 \cdot e^0}{(1 + e^0)^2} = \frac{1 + 1}{(1 + 1)^2} = \frac{2}{2^2} = \frac{1}{2}$;

Ответ: $\frac{1}{2}$.

1) $f(x) = \cos x \cdot \sin x$, $x_0 = \frac{\pi}{6}$

Шаг 1: Найдём производную функции

Функция задана как произведение двух функций:
$f(x) = \cos x \cdot \sin x$

Применяем правило производной произведения:

$$(f \cdot g)’ = f’ \cdot g + f \cdot g’$$

Пусть:
$u(x) = \cos x$, тогда $u'(x) = -\sin x$
$v(x) = \sin x$, тогда $v'(x) = \cos x$

Подставим в правило:

$$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) = (-\sin x) \cdot \sin x + \cos x \cdot \cos x$$

Распишем:

$$f'(x) = -\sin^2 x + \cos^2 x$$

Используем формулу тригонометрии:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Итак:

$$f'(x) = \cos 2x$$

Шаг 2: Найдём значение производной в точке $x = \frac{\pi}{6}$

$$f’\left( \frac{\pi}{6} \right) = \cos\left( 2 \cdot \frac{\pi}{6} \right) = \cos\left( \frac{\pi}{3} \right)$$ $$\cos\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{2}}$$

2) $f(x) = e^x \cdot \ln x$, $x_0 = 1$

Шаг 1: Найдём производную

Функция — произведение:

$$f(x) = e^x \cdot \ln x$$

Применяем правило производной произведения:

Пусть:
$u(x) = e^x$, тогда $u'(x) = e^x$
$v(x) = \ln x$, тогда $v'(x) = \frac{1}{x}$

$$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) = e^x \cdot \ln x + e^x \cdot \frac{1}{x}$$

Вынесем $e^x$:

$$f'(x) = e^x \left( \ln x + \frac{1}{x} \right)$$

Шаг 2: Подставим $x = 1$

$$f'(1) = e^1 \cdot \left( \ln 1 + \frac{1}{1} \right) = e \cdot (0 + 1) = e$$

Ответ:

$$\boxed{e}$$

3) $f(x) = \frac{2 \cos x}{\sin x}$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$

Шаг 1: Найдём производную

Это частное двух функций, используем правило производной частного:

$$\left( \frac{u}{v} \right)’ = \frac{u’ \cdot v — u \cdot v’}{v^2}$$

Пусть:
$u(x) = 2 \cos x$, тогда $u'(x) = -2 \sin x$
$v(x) = \sin x$, тогда $v'(x) = \cos x$

$$f'(x) = \frac{-2 \sin x \cdot \sin x — 2 \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x}$$ $$f'(x) = \frac{-2 (\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}$$

Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$$f'(x) = \frac{-2 \cdot 1}{\sin^2 x} = -\frac{2}{\sin^2 x}$$

Дополнительно:

$$\frac{1}{\sin^2 x} = 1 + \operatorname{ctg}^2 x$$

Таким образом:

$$f'(x) = -2 \cdot (1 + \operatorname{ctg}^2 x)$$

Шаг 2: Подставим $x = \frac{\pi}{4}$

$$\operatorname{ctg} \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\tan \left( \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{1}{1} = 1$$ $$f’\left( \frac{\pi}{4} \right) = -2 \cdot (1 + 1^2) = -2 \cdot 2 = -4$$

Ответ:

$$\boxed{-4}$$

4) $f(x) = \frac{x}{1 + e^x}$, $x_0 = 0$

Шаг 1: Производная дроби

Используем правило:

$$\left( \frac{u}{v} \right)’ = \frac{u’ \cdot v — u \cdot v’}{v^2}$$

Пусть:
$u(x) = x$, $u'(x) = 1$
$v(x) = 1 + e^x$, $v'(x) = e^x$

Подставим:

$$f'(x) = \frac{1 \cdot (1 + e^x) — x \cdot e^x}{(1 + e^x)^2} = \frac{1 + e^x — x e^x}{(1 + e^x)^2}$$

Шаг 2: Подставим $x = 0$

$$f'(0) = \frac{1 + e^0 — 0 \cdot e^0}{(1 + e^0)^2} = \frac{1 + 1 — 0}{(1 + 1)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{2}}$$