ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 560 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить tg/2, если cos а =-3/5 и пи/2 < a < пи.

Вычислить $\operatorname{tg} \frac{a}{2}$, если $\cos a = -\frac{3}{5} = -0.6$ и $\frac{\pi}{2} < a < \pi$.

Решение:

1. По формуле тангенса половинного аргумента:

   $$\operatorname{tg}^2 \frac{a}{2} = \frac{1 — \cos a}{1 + \cos a}$$

   Подставим $\cos a = -0.6$:

   $$\operatorname{tg}^2 \frac{a}{2} = \frac{1 — (-0.6)}{1 + (-0.6)} = \frac{1 + 0.6}{1 — 0.6} = \frac{1.6}{0.4} = 4$$

2. Угол $\frac{a}{2}$ принадлежит первой четверти $\left( \frac{\pi}{4} < \frac{a}{2} < \frac{\pi}{2} \right)$:
   Поскольку $\frac{a}{2}$ находится в первой четверти, $\operatorname{tg} \frac{a}{2}$ должен быть положительным. Следовательно:

   $$\operatorname{tg} \frac{a}{2} = \sqrt{4} = 2$$

Ответ:

$$\boxed{2}$$

Вычислить $\operatorname{tg} \frac{a}{2}$, если

$$\cos a = -\frac{3}{5} = -0{,}6 \quad \text{и} \quad \frac{\pi}{2} < a < \pi.$$

Решение:

Шаг 1: Уточним, в какой четверти находится угол $a$

Условие:

$$\frac{\pi}{2} < a < \pi$$

Это означает, что угол $a$ находится во второй четверти.

• Во второй четверти:
  • $\cos a < 0$ — отрицательный,
  • $\sin a > 0$ — положительный,
  • $\operatorname{tg} a < 0$ — отрицательный.

Это согласуется с данным:

$$\cos a = -\frac{3}{5} < 0$$

Шаг 2: Используем формулу тангенса половинного угла

Формула для квадрата тангенса половинного угла:

$$\operatorname{tg}^2 \frac{a}{2} = \frac{1 — \cos a}{1 + \cos a}$$

Эта формула работает при любых значениях угла $a$, кроме тех, где $\cos a = -1$, что не наш случай.

Шаг 3: Подставим значение $\cos a = -\frac{3}{5}$

$$\operatorname{tg}^2 \frac{a}{2} = \frac{1 — (-\frac{3}{5})}{1 + (-\frac{3}{5})} = \frac{1 + \frac{3}{5}}{1 — \frac{3}{5}} = \frac{\frac{5}{5} + \frac{3}{5}}{\frac{5}{5} — \frac{3}{5}} = \frac{\frac{8}{5}}{\frac{2}{5}}$$

Теперь упростим дробь:

$$\operatorname{tg}^2 \frac{a}{2} = \frac{8/5}{2/5} = \frac{8}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{8 \cdot 5}{5 \cdot 2} = \frac{40}{10} = 4$$

Шаг 4: Найдём $\operatorname{tg} \frac{a}{2}$

Из предыдущего шага:

$$\operatorname{tg}^2 \frac{a}{2} = 4 \Rightarrow \operatorname{tg} \frac{a}{2} = \pm \sqrt{4} = \pm 2$$

Нужно выбрать знак — положительный или отрицательный?

Шаг 5: Определим, в какой четверти находится угол $\frac{a}{2}$

Если $\frac{\pi}{2} < a < \pi$, то делим неравенства пополам:

$$\frac{\pi}{4} < \frac{a}{2} < \frac{\pi}{2}$$

Следовательно, $\frac{a}{2}$ находится в первой четверти (где $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$).

В первой четверти:

• Все тригонометрические функции положительны, включая $\operatorname{tg} \frac{a}{2}$

Шаг 6: Выводим окончательное значение

Поскольку в первой четверти тангенс положителен:

$$\operatorname{tg} \frac{a}{2} = +\sqrt{4} = 2$$

Ответ:

$$\boxed{2}$$