ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 221 Алимов — Подробные Ответы

1. 2^(|x-2|)= 2^(|x+4|);
2. 1,5^(|5-x|)= 1,5^(|x-1|);
3. 3^(|x+1|)= 3^(2-|x|);
4. 3^|x|= 3^(|2-x|-1).

1) $2^{|x-2|} = 2^{|x+4|}$;

$|x-2| = |x+4|$;

$\sqrt{(x-2)^2} = \sqrt{(x+4)^2}$;

$(x-2)^2 = (x+4)^2$;

$x^2 — 4x + 4 = x^2 + 8x + 16$;

$-12x = 12$, отсюда $x = -1$;

Ответ: $x = -1$.

2) $1,5^{15-x} = 1,5^{|x-1|}$;

$|5-x| = |x-1|$;

$\sqrt{(5-x)^2} = \sqrt{(x-1)^2}$;

$(5-x)^2 = (x-1)^2$;

$25 — 10x + x^2 = x^2 — 2x + 1$;

$-8x = -24$, отсюда $x = 3$;

Ответ: $x = 3$.

3) $3^{|x+1|} = 3^{2-|x|}$;

$|x+1| = 2 — |x|$;

$\sqrt{(x+1)^2} = 2 — \sqrt{x^2}$;

$(x+1)^2 = 4 — 4\sqrt{x^2} + x^2$;

$x^2 + 2x + 1 = 4 — 4\sqrt{x^2} + x^2$;

$2x — 3 = -4\sqrt{x^2}$;

$4x^2 — 12x + 9 = 16x^2$;

$12x^2 + 12x — 9 = 0$;

$4x^2 + 4x — 3 = 0$;

$D = 4^2 + 4 \cdot 4 \cdot 3 = 16 + 48 = 64$, тогда

$x_1 = \frac{-4 — 8}{2 \cdot 4} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2} = -1,5$;

$x_2 = \frac{-4 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0,5$;

Уравнение имеет решения при:

$2x — 3 \leq 0$;

$2x \leq 3$;

$x \leq 1,5$;

Ответ: $x_1 = -1,5$; $x_2 = 0,5$.

4) $3^{|x|} = 3^{|2-x|-1}$;

$|x| = |2-x| — 1$;

$|2-x| = |x| + 1$;

$\sqrt{(2-x)^2} = \sqrt{x^2} + 1$;

$(2-x)^2 = x^2 + 2\sqrt{x^2} + 1$;

$4 — 4x + x^2 = x^2 + 2\sqrt{x^2} + 1$;

$3 — 4x = 2\sqrt{x^2}$;

$9 — 24x + 16x^2 = 4x^2$;

$12x^2 — 24x + 9 = 0$;

$4x^2 — 8x + 3 = 0$;

$D = 8^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 — 48 = 16$, тогда

$x_1 = \frac{8 — 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0,5$;

$x_2 = \frac{8 + 4}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$;

Уравнение имеет решения при:

$3 — 4x \geq 0$;

$4x \leq 3$;

$x \leq 0,75$;

Ответ: $x = 0,5$.

1) Решим уравнение:

$$2^{|x-2|} = 2^{|x+4|}$$

Так как основания одинаковые ($2^a = 2^b \Rightarrow a = b$), получаем:

$$|x-2| = |x+4|$$

Рассмотрим возможные случаи:

Случай 1: $x — 2 \geq 0$ и $x + 4 \geq 0$, т.е. $x \geq 2$

$$x — 2 = x + 4$$ $$-2 = 4$$

Это невозможно, значит, решений в этом случае нет.

Случай 2: $x — 2 \geq 0$ и $x + 4 < 0$, т.е. $x \geq 2$ и $x < -4$
Такой $x$ не существует, поскольку $x \geq 2$ противоречит $x < -4$.

Случай 3: $x — 2 < 0$ и $x + 4 \geq 0$, т.е. $x < 2$ и $x \geq -4$

$$-(x-2) = x + 4$$ $$— x + 2 = x + 4$$ $$2 = 2x + 4$$ $$2x = -2$$ $$x = -1$$

Случай 4: $x — 2 < 0$ и $x + 4 < 0$, т.е. $x < 2$ и $x < -4$

$$-(x — 2) = -(x + 4)$$ $$— x + 2 = — x — 4$$ $$2 = -4$$

Это невозможно.

Ответ: $x = -1$.

2) Решим уравнение:

$$1.5^{15-x} = 1.5^{|x-1|}$$

Так как основания одинаковые, получаем:

$$15 — x = |x-1|$$

Рассмотрим возможные случаи:

Случай 1: $x — 1 \geq 0$ (т.е. $x \geq 1$)

$$15 — x = x — 1$$ $$15 + 1 = x + x$$ $$16 = 2x$$ $$x = 8$$

Случай 2: $x — 1 < 0$ (т.е. $x < 1$)

$$15 — x = -(x — 1)$$ $$15 — x = -x + 1$$ $$15 — 1 = -x + x$$ $$14 = 0$$

Это невозможно.

Ответ: $x = 8$.

3) Решим уравнение:

$$3^{|x+1|} = 3^{2 — |x|}$$

Так как основания одинаковые:

$$|x+1| = 2 — |x|$$

Рассмотрим возможные случаи:

Случай 1: $x + 1 \geq 0$ и $x \geq 0$, т.е. $x \geq -1$ и $x \geq 0$ (значит, $x \geq 0$)

$$x + 1 = 2 — x$$ $$x + x = 2 — 1$$ $$2x = 1$$ $$x = 0.5$$

Случай 2: $x + 1 \geq 0$ и $x < 0$, т.е. $x \geq -1$ и $x < 0$

$$x + 1 = 2 — (-x)$$ $$x + 1 = 2 + x$$ $$1 = 2$$

Это невозможно.

Ответ: $x = 0.5$.

4) Решим уравнение:

$$3^{|x|} = 3^{|2-x|-1}$$

Так как основания одинаковые:

$$|x| = |2-x| — 1$$

Рассмотрим возможные случаи:

Случай 1: $x \geq 0$ и $2-x \geq 0$ (т.е. $x \geq 0$ и $x \leq 2$)

$$x = (2 — x) — 1$$ $$x + x = 2 — 1$$ $$2x = 1$$ $$x = 0.5$$

Случай 2: $x < 0$ и $2 — x \geq 0$, т.е. $x < 0$ и $x \leq 2$

$$-x = (2 — x) — 1$$ $$-x + x = 2 — 1$$ $$0 = 1$$

Это невозможно.

Ответ: $x = 0.5$.