ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 768 Алимов — Подробные Ответы

Найти наименьший положительный период функции:

1. y=2sin(2x+1);
2. y=tg1/4(x+1).

1.

$$y = 2 \sin(2x + 1);$$ $$y(x + T) = y(x);$$ $$2 \sin(2(x + T) + 1) = 2 \sin(2x + 1);$$ $$\sin(2x + 1 + 2T) = \sin(2x + 1);$$ $$2T = 2\pi, \quad \text{отсюда } T = \pi;$$

Ответ:

$$\pi.$$

2.

$$y = 3 \operatorname{tg} \frac{1}{4}(x + 1);$$ $$y(x + T) = y(x);$$ $$3 \operatorname{tg} \frac{1}{4}(x + T + 1) = 3 \operatorname{tg} \frac{1}{4}(x + 1);$$ $$\operatorname{tg} \left( \frac{x + 1}{4} + \frac{T}{4} \right) = \operatorname{tg} \left( \frac{x + 1}{4} \right);$$ $$\frac{T}{4} = \pi, \quad \text{отсюда } T = 4\pi;$$

Ответ:

$$4\pi \mathrm{.}$$

Период функции $f(x)$ — минимальное положительное число $T$, при котором

$$f(x + T) = f(x) \quad \text{для всех } x.$$

1) Функция

$$y = 2 \sin(2x + 1)$$

Шаг 1. Записываем условие периодичности

$$y(x + T) = y(x)$$

Заменим $y$:

$$2 \sin(2(x + T) + 1) = 2 \sin(2x + 1)$$

Шаг 2. Упростим левую часть

Раскроем скобки в аргументе синуса:

$$2 \sin(2x + 2T + 1) = 2 \sin(2x + 1)$$

Шаг 3. Свойство синуса

Функция $\sin \theta$ имеет период $2\pi$, следовательно,

$$\sin(\alpha + 2\pi) = \sin \alpha$$

Чтобы равенство было верным для всех $x$, аргументы синусов должны отличаться на $2\pi n$:

$$2x + 2T + 1 = 2x + 1 + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 4. Решаем уравнение для $T$

Упростим:

$$2T = 2\pi n$$

Минимальный положительный период соответствует $n = 1$:

$$2T = 2\pi \implies T = \pi$$

Итог:

$$\boxed{ T = \pi }$$

2) Функция

$$y = 3 \operatorname{tg} \frac{1}{4}(x + 1)$$

Шаг 1. Записываем условие периодичности

$$y(x + T) = y(x)$$

Подставим функцию:

$$3 \operatorname{tg} \frac{1}{4}(x + T + 1) = 3 \operatorname{tg} \frac{1}{4}(x + 1)$$

Шаг 2. Упростим

Отменим множитель 3:

$$\operatorname{tg} \left( \frac{x + T + 1}{4} \right) = \operatorname{tg} \left( \frac{x + 1}{4} \right)$$

Шаг 3. Свойство тангенса

Функция $\operatorname{tg} \theta$ имеет период $\pi$:

$$\operatorname{tg}(\alpha + \pi) = \operatorname{tg} \alpha$$

Для равенства аргументы должны отличаться на $\pi n$:

$$\frac{x + T + 1}{4} = \frac{x + 1}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 4. Решаем для $T$

Упростим:

$$\frac{x + T + 1}{4} — \frac{x + 1}{4} = \pi n$$ $$\frac{T}{4} = \pi n$$

Минимальный положительный период при $n=1$:

$$\frac{T}{4} = \pi \implies T = 4\pi$$

Итог:

$$\boxed{ T = 4\pi }$$

Общий ответ:

$$\begin{cases} y = 2 \sin(2x + 1), & T = \pi \\ y = 3 \operatorname{tg} \frac{1}{4}(x + 1), & T = 4\pi \end{cases}$$