ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1033 Алимов — Подробные Ответы

Для функции f (x) найти первообразную, график которой проходит через точку М:

1. f (х) = cos х, М (0; -2);
2. f(x) = sin х, М (-пи; 0);
3. f(x) = 1/ корень x, М(4; 5);
4. f(x) = ex, М (0; 2);
5. f(х) = 3х2 + 1, М (1; -2);
6. f(х) = 2 — 2х, М (2; 3).

1. $f(x) = \cos x$;
   Все первообразные функции:
   $F(x) = \sin x + C$;
   Проходящая через точку $M(0; -2)$:
   $-2 = \sin 0 + C$;
   $-2 = 0 + C$, отсюда $C = -2$;
   Ответ: $F(x) = \sin x — 2$.
2. $f(x) = \sin x$;
   Все первообразные функции:
   $F(x) = -\cos x + C$;
   Проходящая через точку $M(-\pi; 0)$:
   $0 = -\cos(-\pi) + C$;
   $0 = -\cos \pi + C$;
   $0 = 1 + C$, отсюда $C = -1$;
   Ответ: $F(x) = -\cos x — 1$.
3. $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$;
   Все первообразные функции:
   $F(x) = x^{\frac{1}{2}} : \frac{1}{2} = 2\sqrt{x} + C$;
   Проходящая через точку $M(4; 5)$:
   $5 = 2\sqrt{4} + C$;
   $5 = 2 \cdot 2 + C$;
   $5 = 4 + C$, отсюда $C = 1$;
   Ответ: $F(x) = 2\sqrt{x} + 1$.
4. $f(x) = e^x$;
   Все первообразные функции:
   $F(x) = e^x + C$;
   Проходящая через точку $M(0; 2)$:
   $2 = e^0 + C$;
   $2 = 1 + C$, отсюда $C = 1$;
   Ответ: $F(x) = e^x + 1$.
5. $f(x) = 3x^2 + 1$;
   Все первообразные функции:
   $F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 1 \cdot \frac{x^1}{1} = x^3 + x + C$;
   Проходящая через точку $M(1; -2)$:
   $-2 = 1^3 + 1 + C$;
   $-2 = 2 + C$, отсюда $C = -4$;
   Ответ: $F(x) = x^3 + x — 4$.
6. $f(x) = 2 — 2x$;
   Все первообразные функции:
   $F(x) = 2 \cdot \frac{x^1}{1} — 2 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x — x^2 + C$;
   Проходящая через точку $M(2; 3)$:
   $3 = 2 \cdot 2 — 2^2 + C$;
   $3 = 4 — 4 + C$, отсюда $C = 3$;
   Ответ: $F(x) = 2x — x^2 + 3$.

Задание 1

Дано: $f(x) = \cos x$, найти $F(x)$, если $F(0) = -2$

Шаг 1: Найдём общую первообразную

$$\int \cos x \, dx = \sin x + C \Rightarrow F(x) = \sin x + C$$

Шаг 2: Подставим точку $M(0; -2)$

$$F(0) = \sin(0) + C = 0 + C = -2 \Rightarrow C = -2$$

Ответ:

$$F(x) = \sin x — 2$$

Задание 2

Дано: $f(x) = \sin x$, найти $F(x)$, если $F(-\pi) = 0$

Шаг 1: Найдём общую первообразную

$$\int \sin x \, dx = -\cos x + C \Rightarrow F(x) = -\cos x + C$$

Шаг 2: Подставим точку $M(-\pi; 0)$

$$F(-\pi) = -\cos(-\pi) + C = -\cos(\pi) + C = -(-1) + C = 1 + C = 0 \Rightarrow C = -1$$

Ответ:

$$F(x) = -\cos x — 1$$

Задание 3

Дано: $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$, найти $F(x)$, если $F(4) = 5$

Шаг 1: Найдём общую первообразную

$$\int x^{-1/2} dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x} + C \Rightarrow F(x) = 2\sqrt{x} + C$$

Шаг 2: Подставим точку $M(4; 5)$

$$F(4) = 2\sqrt{4} + C = 2 \cdot 2 + C = 4 + C = 5 \Rightarrow C = 1$$

Ответ:

$$F(x) = 2\sqrt{x} + 1$$

Задание 4

Дано: $f(x) = e^x$, найти $F(x)$, если $F(0) = 2$

Шаг 1: Найдём общую первообразную

$$\int e^x \, dx = e^x + C \Rightarrow F(x) = e^x + C$$

Шаг 2: Подставим точку $M(0; 2)$

$$F(0) = e^0 + C = 1 + C = 2 \Rightarrow C = 1$$

Ответ:

$$F(x) = e^x + 1$$

Задание 5

Дано: $f(x) = 3x^2 + 1$, найти $F(x)$, если $F(1) = -2$

Шаг 1: Найдём общую первообразную

$$\int (3x^2 + 1) dx = 3\cdot\frac{x^3}{3} + x + C = x^3 + x + C \Rightarrow F(x) = x^3 + x + C$$

Шаг 2: Подставим точку $M(1; -2)$

$$F(1) = 1^3 + 1 + C = 2 + C = -2 \Rightarrow C = -4$$

Ответ:

$$F(x) = x^3 + x — 4$$

Задание 6

Дано: $f(x) = 2 — 2x$, найти $F(x)$, если $F(2) = 3$

Шаг 1: Найдём общую первообразную

$$\int (2 — 2x)\,dx = 2x — x^2 + C \Rightarrow F(x) = 2x — x^2 + C$$

Шаг 2: Подставим точку $M(2; 3)$

$$F(2) = 2 \cdot 2 — 2^2 + C = 4 — 4 + C = C = 3$$

Ответ:

$$F(x) = 2x — x^2 + 3$$

Итоговые ответы: