ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 995 Алимов — Подробные Ответы

1. (2x+1) корень x;
2. (3x-2) корень 3 степени x;
3. (x+4)/корень 3 степени x;
4. (x-3)/ корень x.

1. $f(x) = (2x + 1) \cdot \sqrt{x} = 2x\sqrt{x} + \sqrt{x} = 2 \cdot x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}};$
   $F(x) = 2 \cdot x^{\frac{3}{2}} : \frac{5}{2} + x^{\frac{1}{2}} : \frac{3}{2} = \frac{4}{5} x^2 \cdot \sqrt{x} + \frac{2}{3} x \sqrt{x} + C;$
   $F(x) = 2x\sqrt{x} \cdot \left( \frac{2}{5}x + \frac{1}{3} \right) + C;$
2. $f(x) = (3x — 2) \cdot \sqrt[3]{x} = 3x^3 \sqrt[3]{x} — 2 \sqrt[3]{x} = 3 \cdot x^{\frac{4}{3}} — 2 \cdot x^{\frac{1}{3}};$
   $F(x) = 3 \cdot x^{\frac{7}{3}} : \frac{7}{3} — 2 \cdot x^{\frac{4}{3}} : \frac{4}{3} = \frac{9}{7} x^2 \cdot \sqrt[3]{x} — \frac{3}{2} x^3 \sqrt[3]{x} + C;$
   $F(x) = 3x^3 \sqrt[3]{x} \cdot \left( \frac{3}{7}x — \frac{1}{2} \right) + C;$
3. $f(x) = \frac{x + 4}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x}{\sqrt[3]{x}} + \frac{4}{\sqrt[3]{x}} = x^{\frac{2}{3}} + 4 \cdot x^{-\frac{1}{3}};$
   $F(x) = x^{\frac{5}{3}} : \frac{5}{3} + 4 \cdot x^{\frac{2}{3}} : \frac{2}{3} = \frac{3}{5} x \cdot \sqrt[3]{x^2} + 6 \sqrt[3]{x^2} + C;$
   $F(x) = 3 \sqrt[3]{x^2} \cdot \left( \frac{1}{5}x + 2 \right) + C;$
4. $f(x) = \frac{x — 3}{\sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{x}} — \frac{3}{\sqrt{x}} = x^{\frac{1}{2}} — 3 \cdot x^{-\frac{1}{2}};$
   $F(x) = x^{\frac{3}{2}} : \frac{3}{2} — 3 \cdot x^{\frac{1}{2}} : \frac{1}{2} = \frac{2}{3} x \sqrt{x} — 6 \sqrt{x} + C;$
   $F(x) = 2 \sqrt{x} \cdot \left( \frac{1}{3}x — 3 \right) + C;$

1) Задача 1:

Дано:
$f(x) = (2x + 1) \cdot \sqrt{x} = 2x\sqrt{x} + \sqrt{x} = 2 \cdot x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}}$

Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Разделим на части:

Функция $f(x) = 2x\sqrt{x} + \sqrt{x}$ разлагается на два слагаемых:

$$f(x) = 2x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}}.$$

Теперь будем интегрировать каждое слагаемое.

Интегрируем $2x^{\frac{3}{2}}$:

Используем стандартное правило для интегрирования степенных функций $x^n$:

$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}, \quad n \neq -1.$$

Интегрируем $2x^{\frac{3}{2}}$:

$$\int 2x^{\frac{3}{2}} \, dx = 2 \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} = \frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}}.$$

Интегрируем $x^{\frac{1}{2}}$:

Интегрируем $x^{\frac{1}{2}}$ по тому же правилу:

$$\int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}.$$

Объединяем результаты:

Теперь, комбинируем все результаты:

$$F(x) = \frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ:

$$F(x) = \frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C.$$

2) Задача 2:

Дано:
$f(x) = (3x — 2) \cdot \sqrt[3]{x} = 3x^3 \sqrt[3]{x} — 2 \sqrt[3]{x} = 3 \cdot x^{\frac{4}{3}} — 2 \cdot x^{\frac{1}{3}}$

Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Разделим на части:

Функция $f(x) = 3x^3 \sqrt[3]{x} — 2 \sqrt[3]{x}$ разлагается на два слагаемых:

$$f(x) = 3 \cdot x^{\frac{4}{3}} — 2 \cdot x^{\frac{1}{3}}.$$

Теперь будем интегрировать каждое слагаемое.

Интегрируем $3x^{\frac{4}{3}}$:

Интегрируем $3x^{\frac{4}{3}}$ по тому же правилу:

$$\int 3x^{\frac{4}{3}} \, dx = 3 \cdot \frac{x^{\frac{7}{3}}}{\frac{7}{3}} = \frac{9}{7} x^{\frac{7}{3}}.$$

Интегрируем $-2x^{\frac{1}{3}}$:

Интегрируем $-2x^{\frac{1}{3}}$ по тому же правилу:

$$\int -2x^{\frac{1}{3}} \, dx = -2 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} = \frac{-3}{2} x^{\frac{4}{3}}.$$

Объединяем результаты:

Теперь, комбинируем все результаты:

$$F(x) = \frac{9}{7} x^{\frac{7}{3}} — \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ:

$$F(x) = \frac{9}{7} x^{\frac{7}{3}} — \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C.$$

3) Задача 3:

Дано:
$f(x) = \frac{x + 4}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x}{\sqrt[3]{x}} + \frac{4}{\sqrt[3]{x}} = x^{\frac{2}{3}} + 4 \cdot x^{-\frac{1}{3}}$

Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Разделим на части:

Функция $f(x) = x^{\frac{2}{3}} + 4 \cdot x^{-\frac{1}{3}}$ разлагается на два слагаемых:

$$f(x) = x^{\frac{2}{3}} + 4 \cdot x^{-\frac{1}{3}}.$$

Теперь будем интегрировать каждое слагаемое.

Интегрируем $x^{\frac{2}{3}}$:

Интегрируем $x^{\frac{2}{3}}$:

$$\int x^{\frac{2}{3}} \, dx = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}.$$

Интегрируем $4x^{-\frac{1}{3}}$:

Интегрируем $4x^{-\frac{1}{3}}$:

$$\int 4x^{-\frac{1}{3}} \, dx = 4 \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} = 6x^{\frac{2}{3}}.$$

Объединяем результаты:

Теперь, комбинируем все результаты:

$$F(x) = \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + 6x^{\frac{2}{3}} + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ:

$$F(x) = \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + 6x^{\frac{2}{3}} + C.$$

4) Задача 4:

Дано:
$f(x) = \frac{x — 3}{\sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{x}} — \frac{3}{\sqrt{x}} = x^{\frac{1}{2}} — 3 \cdot x^{-\frac{1}{2}}$

Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Разделим на части:

Функция $f(x) = x^{\frac{1}{2}} — 3 \cdot x^{-\frac{1}{2}}$ разлагается на два слагаемых:

$$f(x) = x^{\frac{1}{2}} — 3 \cdot x^{-\frac{1}{2}}.$$

Теперь будем интегрировать каждое слагаемое.

Интегрируем $x^{\frac{1}{2}}$:

Интегрируем $x^{\frac{1}{2}}$:

$$\int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}.$$

Интегрируем $-3x^{-\frac{1}{2}}$:

Интегрируем $-3x^{-\frac{1}{2}}$:

$$\int -3x^{-\frac{1}{2}} \, dx = -3 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = -6x^{\frac{1}{2}}.$$

Объединяем результаты:

Теперь, комбинируем все результаты:

$$F(x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} — 6x^{\frac{1}{2}} + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ:

$$F(x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} — 6x^{\frac{1}{2}} + C.$$