ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 240 Алимов — Подробные Ответы

1)

$$\begin{cases} 2x — y = 1 \\ 5^{x+y} = 25 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 2x — 1 \\ 5^{x+y} = 5^2 \end{cases};$$ $$5^{x+2x-1} = 5^2;$$ $$x + 2x — 1 = 2;$$ $$3x = 3, \text{отсюда } x = 1;$$ $$y = 2 \cdot 1 — 1 = 2 — 1 = 1;$$

Ответ: $(1; 1)$.

2)

$$\begin{cases} x — y = 2 \\ 3^{x^2+y} = \frac{1}{9} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 2 + y \\ 3^{x^2+y} = 3^{-2} \end{cases};$$ $$3^{(2+y)^2+y} = 3^{-2};$$ $$(2+y)^2 + y = -2;$$ $$4 + 4y + y^2 + y = -2;$$ $$y^2 + 5y + 6 = 0;$$ $$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-5 — 1}{2} \neq -3 \text{ и } y_2 = \frac{-5 + 1}{2} = -2;$$ $$x_1 = 2 — 3 = -1 \text{ и } x_2 = 2 — 2 = 0;$$

Ответ: $(-1; -3)$; $(0; -2)$.

3)

$$\begin{cases} x + y = 1 \\ 2^{x-y} = 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 1 — x \\ 2^{x-y} = 2^3 \end{cases};$$ $$2^{x-(1-x)} = 2^3;$$ $$x — (1 — x) = 3;$$ $$x — 1 + x = 3;$$ $$2x = 4, \text{отсюда } x = 2;$$ $$y = 1 — 2 = -1;$$

Ответ: $(2; -1)$.

4)

$$\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 3^{x-y} = 81 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 3 — 2y \\ 3^{x-y} = 3^4 \end{cases};$$ $$3^{3-2y-y} = 3^4;$$ $$3 — 2y — y = 4;$$ $$-3y = 1, \text{отсюда } y = -\frac{1}{3};$$ $$x = 3 — 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 3 + \frac{2}{3} = 3 \frac{2}{3};$$

Ответ: $\left(3 \frac{2}{3}; -\frac{1}{3}\right)$.

1) Решение системы:

$$\begin{cases} 2x — y = 1 \\ 5^{x+y} = 25 \end{cases}$$

Шаг 1. Преобразуем систему.

Из первого уравнения:

$$2x — y = 1 \quad \Rightarrow \quad y = 2x — 1$$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$$5^{x + y} = 25$$

Поскольку $25 = 5^2$, получаем:

$$5^{x + (2x — 1)} = 5^2$$

Упростим:

$$5^{x + 2x — 1} = 5^2$$ $$5^{3x — 1} = 5^2$$

Шаг 2. Решаем уравнение.

Поскольку основания одинаковы, можем приравнять показатели степени:

$$3x — 1 = 2$$

Теперь решим это линейное уравнение:

$$3x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 1$$

Шаг 3. Подставим значение $x = 1$ в выражение для $y$:

$$y = 2 \cdot 1 — 1 = 1$$

Ответ:

$$\boxed{(1; 1)}$$

2) Решение системы:

$$\begin{cases} x — y = 2 \\ 3^{x^2 + y} = \frac{1}{9} \end{cases}$$

Шаг 1. Преобразуем систему.

Из первого уравнения:

$$x — y = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 2 + y$$

Подставим это значение $x$ во второе уравнение:

$$3^{x^2 + y} = \frac{1}{9}$$

Так как $\frac{1}{9} = 3^{-2}$, получаем:

$$3^{(2 + y)^2 + y} = 3^{-2}$$

Поскольку основания одинаковы, приравняем показатели степени:

$$(2 + y)^2 + y = -2$$

Теперь раскроем скобки и упростим:

$$(2 + y)^2 + y = 4 + 4y + y^2 + y = -2$$ $$y^2 + 5y + 6 = 0$$

Шаг 2. Решим квадратное уравнение.

Для уравнения $y^2 + 5y + 6 = 0$ находим дискриминант:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-5 — 1}{2} = -3 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-5 + 1}{2} = -2$$

Шаг 3. Найдем значения $x$.

Для $y_1 = -3$:

$$x_1 = 2 + (-3) = -1$$

Для $y_2 = -2$:

$$x_2 = 2 + (-2) = 0$$

Ответ:

$$\boxed{(-1; -3), (0; -2)}$$

3) Решение системы:

$$\begin{cases} x + y = 1 \\ 2^{x — y} = 8 \end{cases}$$

Шаг 1. Преобразуем систему.

Из первого уравнения:

$$x + y = 1 \quad \Rightarrow \quad y = 1 — x$$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$$2^{x — y} = 8$$

Так как $8 = 2^3$, получаем:

$$2^{x — (1 — x)} = 2^3$$

Упростим:

$$2^{x — 1 + x} = 2^3$$ $$2^{2x — 1} = 2^3$$

Шаг 2. Решаем уравнение.

Поскольку основания одинаковы, приравняем показатели степени:

$$2x — 1 = 3$$

Решим это уравнение:

$$2x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2$$

Шаг 3. Подставим значение $x = 2$ в выражение для $y$:

$$y = 1 — 2 = -1$$

Ответ:

$$\boxed{(2; -1)}$$

4) Решение системы:

$$\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 3^{x — y} = 81 \end{cases}$$

Шаг 1. Преобразуем систему.

Из первого уравнения:

$$x + 2y = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 3 — 2y$$

Подставим это значение $x$ во второе уравнение:

$$3^{x — y} = 81$$

Так как $81 = 3^4$, получаем:

$$3^{(3 — 2y) — y} = 3^4$$

Упростим:

$$3^{3 — 2y — y} = 3^4$$ $$3 — 3y = 4$$

Решим это уравнение:

$$-3y = 1 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{1}{3}$$

Шаг 2. Подставим значение $y = -\frac{1}{3}$ в выражение для $x$:

$$x = 3 — 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 3 + \frac{2}{3} = 3 \frac{2}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{\left( 3 \frac{2}{3}; -\frac{1}{3} \right)}$$

Итоговые ответы:

1. $(1; 1)$
2. $(-1; -3), (0; -2)$
3. $(2; -1)$
4. $\left( 3 \frac{2}{3}; -\frac{1}{3} \right)$