ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 110 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение a=(4-3 корень 2)2 + 8*(корень (34 — 24*корень 2)) — корень 5. Сравнить полученное число с нулем.

Упростить выражение:

$$a = (4 — 3\sqrt{2})^2 + 8\sqrt{34 — 24\sqrt{2}} — \sqrt{5};$$

$$a = 16 — 24\sqrt{2} + 18 + 8\sqrt{9 \cdot 2 — 2 \cdot 4 \cdot 3\sqrt{2} + 16} — \sqrt{5};$$

$$a = 34 — 24\sqrt{2} + 8\sqrt{(3\sqrt{2} — 4)^2} — \sqrt{5};$$

$$a = 34 — 24\sqrt{2} + 8(3\sqrt{2} — 4) — \sqrt{5};$$

$$a = 34 — 24\sqrt{2} + 24\sqrt{2} — 32 — \sqrt{5};$$

$$a = 2 — \sqrt{5};$$

Сравнить полученное выражение с нулем:

$$5 > 4;$$

$$\sqrt{5} > 2;$$

$$-\sqrt{5} < -2;$$

$$2 — \sqrt{5} < 0;$$

Ответ: $2 — \sqrt{5} < 0$

Упростим выражение:

$$a = (4 — 3\sqrt{2})^2 + 8\sqrt{34 — 24\sqrt{2}} — \sqrt{5}.$$

Шаг 1: Упрощение первого квадрата

Начнем с того, что у нас есть выражение $(4 — 3\sqrt{2})^2$. Раскроем этот квадрат:

$$(4 — 3\sqrt{2})^2 = 4^2 — 2 \cdot 4 \cdot 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2.$$

Вычислим каждый член поочередно:

$$4^2 = 16,$$

$$2 \cdot 4 \cdot 3\sqrt{2} = 24\sqrt{2},$$

$$(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18.$$

Теперь подставим все это в исходное выражение:

$$(4 — 3\sqrt{2})^2 = 16 — 24\sqrt{2} + 18 = 34 — 24\sqrt{2}.$$

Шаг 2: Упрощение второго выражения

Теперь у нас есть выражение $8\sqrt{34 — 24\sqrt{2}}$. Прежде чем упростить это, давайте раскроем внутри корня:

$$34 — 24\sqrt{2}.$$

Пытаемся упростить корень, и для этого подставим подкоренное выражение в вид:

$$34 — 24\sqrt{2} = (3\sqrt{2} — 4)^2.$$

Для проверки раскроем квадрат:

$$(3\sqrt{2} — 4)^2 = (3\sqrt{2})^2 — 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 4 + 4^2 = 18 — 24\sqrt{2} + 16 = 34 — 24\sqrt{2}.$$

Это совпадает, значит, можно записать:

$$8\sqrt{34 — 24\sqrt{2}} = 8\sqrt{(3\sqrt{2} — 4)^2} = 8(3\sqrt{2} — 4).$$

Теперь у нас есть:

$$8\sqrt{34 — 24\sqrt{2}} = 8(3\sqrt{2} — 4) = 24\sqrt{2} — 32.$$

Шаг 3: Объединяем все выражения

Теперь можем собрать все вместе:

$$a = (34 — 24\sqrt{2}) + (24\sqrt{2} — 32) — \sqrt{5}.$$

Преобразуем выражение, собрав подобные члены:

$$a = 34 — 24\sqrt{2} + 24\sqrt{2} — 32 — \sqrt{5}.$$

У нас отменяются подобные члены $-24\sqrt{2} + 24\sqrt{2}$, и остается:

$$a = 34 — 32 — \sqrt{5} = 2 — \sqrt{5}.$$

Шаг 4: Сравнение с нулем

Теперь сравним полученное выражение $a = 2 — \sqrt{5}$ с нулем. Значение $\sqrt{5}$примерно равно 2.236, следовательно:

$$2 — \sqrt{5} \approx 2 — 2.236 = -0.236.$$

Это выражение отрицательно, поэтому:

$$2 — \sqrt{5} < 0.$$

Ответ:$$2 — \sqrt{5} < 0.$$