ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 270 Алимов — Подробные Ответы

1. log3(1/9);
2. log3(1/3);
3. log3(корень 4 степени 3);
4. log3(1/корень 4 степени 3).

1. $\log_{3} \frac{1}{9} = \log_{3} \frac{1}{3^{2}} = \log_{3} 3^{-2} = -2$;
2. $\log_{3} \frac{1}{3} = \log_{3} 3^{-1} = -1$;
3. $\log_{3} \sqrt[4]{3} = \log_{3} 3^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4} = 0,25$;
4. $\log_{3} \frac{1}{\sqrt[4]{3}} = \log_{3} \frac{1}{3^{\frac{1}{4}}} = \log_{3} 3^{-\frac{1}{4}} = -\frac{1}{4} = -0,25$;

1) $\log_{3} \frac{1}{9}$

Шаг 1: Представим знаменатель в виде степени числа 3:

$$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2}$$

Шаг 2: Подставим это в логарифм:

$$\log_{3} \frac{1}{9} = \log_{3} \frac{1}{3^2}$$

Шаг 3: Используем правило:

$$\frac{1}{a^n} = a^{-n}, \quad \text{т.е.} \quad \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$$

Шаг 4: Подставим в логарифм:

$$\log_{3} 3^{-2}$$

Шаг 5: Применяем основное логарифмическое тождество:

$$\log_{a} a^x = x$$

Значит:

$$\log_{3} 3^{-2} = -2$$

Ответ:

$$\log_{3} \frac{1}{9} = -2$$

2) $\log_{3} \frac{1}{3}$

Шаг 1: Представим дробь как степень:

$$\frac{1}{3} = 3^{-1}$$

Шаг 2: Подставим в логарифм:

$$\log_{3} \frac{1}{3} = \log_{3} 3^{-1}$$

Шаг 3: Используем основное логарифмическое тождество:

$$\log_{3} 3^{-1} = -1$$

Ответ:

$$\log_{3} \frac{1}{3} = -1$$

3) $\log_{3} \sqrt[4]{3}$

Шаг 1: Представим корень как степень:

$$\sqrt[4]{3} = 3^{\frac{1}{4}}$$

Шаг 2: Подставим в логарифм:

$$\log_{3} \sqrt[4]{3} = \log_{3} 3^{\frac{1}{4}}$$

Шаг 3: Применим основное тождество логарифма:

$$\log_{3} 3^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4}$$

Шаг 4: Переведём в десятичную дробь:

$$\frac{1}{4} = 0{,}25$$

Ответ:

$$\log_{3} \sqrt[4]{3} = \frac{1}{4} = 0{,}25$$

4) $\log_{3} \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

Шаг 1: Представим корень как степень:

$$\sqrt[4]{3} = 3^{\frac{1}{4}}$$

Шаг 2: Найдём обратное значение:

$$\frac{1}{\sqrt[4]{3}} = \frac{1}{3^{\frac{1}{4}}}$$

Шаг 3: Используем правило:

$$\frac{1}{a^x} = a^{-x}, \quad \text{т.е.} \quad \frac{1}{3^{1/4}} = 3^{-\frac{1}{4}}$$

Шаг 4: Подставим в логарифм:

$$\log_{3} \frac{1}{\sqrt[4]{3}} = \log_{3} 3^{-\frac{1}{4}}$$

Шаг 5: Применим основное тождество:

$$\log_{3} 3^{-\frac{1}{4}} = -\frac{1}{4}$$

Шаг 6: Переведём в десятичную дробь:

$$-\frac{1}{4} = -0{,}25$$

Ответ:

$$\log_{3} \frac{1}{\sqrt[4]{3}} = -\frac{1}{4} = -0{,}25$$

Итоговые ответы:

1. $\log_{3} \frac{1}{9} = -2$
2. $\log_{3} \frac{1}{3} = -1$
3. $\log_{3} \sqrt[4]{3} = \frac{1}{4} = 0{,}25$
4. $\log_{3} \frac{1}{\sqrt[4]{3}} = -\frac{1}{4} = -0{,}25$