ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 459 Алимов — Подробные Ответы

По значению одной из тригонометрических функций (sin а, cos а, tg а, ctg а) найти значения остальных трёх:

1. cosa=5/13 и 3пи/2 < a < 2пи;
2. sina=0,8 и пи/2 < a < пи;
3. tga=15/8 и пи < a < 3пи/2;
4. ctga=-3 и 3пи/2 < a < 2пи;
5. cosa=0,8 и 0 < a < пи/2;
6. sina=-5/13 и 3пи/2 < a < 2пи;
7. tga=-2,4 и пи/2 < a < пи;
8. ctga=7/24 и пи < a < 3пи/2.

$\cos a = \frac{5}{13}$ и $\frac{3\pi}{2} < a < 2\pi$;

Точка находится в IV четверти:

$$\sin a = -\sqrt{1 — \cos^2 a} = -\sqrt{1 — \left(\frac{5}{13}\right)^2} = -\sqrt{\frac{169}{169} — \frac{25}{169}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13};$$ $$\tg a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = -\frac{12}{13} : \frac{5}{13} = -\frac{12}{13} \cdot \frac{13}{5} = -\frac{12}{5};$$ $$\ctg a = \frac{1}{\tg a} = 1 : \left(-\frac{12}{5}\right) = -\frac{5}{12};$$

$\sin a = 0,8$ и $\frac{\pi}{2} < a < \pi$;

Точка находится во II четверти:

$$\cos a = -\sqrt{1 — \sin^2 a} = -\sqrt{1 — 0,8^2} = -\sqrt{1 — 0,64} = -\sqrt{0,36} = -0,6;$$ $$\tg a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{0,8}{-0,6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3};$$ $$\ctg a = \frac{1}{\tg a} = 1 : \left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{3}{4};$$

$\tg a = \frac{15}{8}$ и $\pi < a < \frac{3\pi}{2}$;

Точка находится в III четверти:

$$\cos a = -\sqrt{\frac{1}{1 + \tg^2 a}} = -\sqrt{\frac{1}{1 + \left(\frac{15}{8}\right)^2}} = -\sqrt{\frac{1}{\frac{64}{64} + \frac{225}{64}}} = -\sqrt{\frac{64}{289}} = -\frac{8}{17};$$ $$\sin a = \cos a \cdot \tg a = -\frac{8}{17} \cdot \frac{15}{8} = -\frac{15}{17};$$ $$\ctg a = \frac{1}{\tg a} = 1 : \frac{15}{8} = \frac{8}{15};$$

$\ctg a = -3$ и $\frac{3\pi}{2} < a < 2\pi$;

Точка находится в IV четверти:

$$\tg a = \frac{1}{\ctg a} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3};$$ $$\cos a = \sqrt{\frac{1}{1 + \tg^2 a}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{9}{9} + \frac{1}{9}}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}};$$ $$\sin a = \cos a \cdot \tg a = \frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{\sqrt{10}};$$

$\cos a = 0,8$ и $0 < a < \frac{\pi}{2}$;

Точка находится в I четверти:

$$\sin a = \sqrt{1 — \cos^2 a} = \sqrt{1 — 0,8^2} = \sqrt{1 — 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6;$$ $$\tg a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{0,6}{0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4};$$ $$\ctg a = \frac{1}{\tg a} = 1 : \frac{3}{4} = \frac{4}{3};$$

$\sin a = -\frac{5}{13}$ и $\frac{3\pi}{2} < a < 2\pi$;

Точка находится в IV четверти:

$$\cos a = \sqrt{1 — \sin^2 a} = \sqrt{1 — \left(-\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{\frac{169}{169} — \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13};$$ $$\tg a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = -\frac{5}{13} : \frac{12}{13} = -\frac{5}{13} \cdot \frac{13}{12} = -\frac{5}{12};$$ $$\ctg a = \frac{1}{\tg a} = 1 : \left(-\frac{5}{12}\right) = -\frac{12}{5};$$

$\tg a = -2,4$ и $\frac{\pi}{2} < a < \pi$;

Точка находится во II четверти:

$$\tg a = -2,4 = -\frac{24}{10} = -\frac{12}{5};$$ $$\cos a = -\sqrt{\frac{1}{1 + \tg^2 a}} = -\sqrt{\frac{1}{1 + \left(-\frac{12}{5}\right)^2}} = -\sqrt{\frac{1}{\frac{25}{25} + \frac{144}{25}}} = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13};$$ $$\sin a = \cos a \cdot \tg a = -\frac{5}{13} \cdot \left(-\frac{12}{5}\right) = \frac{12}{13};$$ $$\ctg a = \frac{1}{\tg a} = \frac{1}{-2,4} = -\frac{10}{24} = -\frac{5}{12};$$

$\ctg a = \frac{7}{24}$ и $\pi < a < \frac{3\pi}{2}$;

Точка находится в III четверти:

$$\tg a = \frac{1}{\ctg a} = 1 : \frac{7}{24} = \frac{24}{7};$$ $$\cos a = -\sqrt{\frac{1}{1 + \tg^2 a}} = -\sqrt{\frac{1}{1 + \left(\frac{24}{7}\right)^2}} = -\sqrt{\frac{1}{\frac{49}{49} + \frac{576}{49}}} = -\sqrt{\frac{49}{625}} = -\frac{7}{25};$$ $$\sin a = \cos a \cdot \tg a = -\frac{7}{25} \cdot \frac{24}{7} = -\frac{24}{25};$$

Вводные данные и основные формулы

• Для угла $a$ на тригонометрической окружности координаты точки — $(\cos a, \sin a)$.
• Известно основное тождество:

  $$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

• Тангенс и котангенс:

  $$\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}, \quad \cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{\cos a}{\sin a}$$

• Знаки $\sin a$ и $\cos a$ зависят от четверти, где расположен угол $a$:

Задача 1

$$\cos a = \frac{5}{13}, \quad \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi$$

Шаг 1. Определение четверти

• Угол находится в IV четверти, где $\sin a < 0$, $\cos a > 0$.

Шаг 2. Найти $\sin a$ из тождества:

$$\sin^2 a = 1 — \cos^2 a = 1 — \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 — \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$$

Поскольку $\sin a < 0$ в IV четверти:

$$\sin a = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$$

Шаг 3. Найти $\tan a$:

$$\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = -\frac{12}{13} \times \frac{13}{5} = -\frac{12}{5}$$

Шаг 4. Найти $\cot a$:

$$\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{1}{-\frac{12}{5}} = -\frac{5}{12}$$

Ответ по 1):

$$\sin a = -\frac{12}{13}, \quad \tan a = -\frac{12}{5}, \quad \cot a = -\frac{5}{12}$$

Задача 2

$$\sin a = 0{,}8, \quad \frac{\pi}{2} < a < \pi$$

Шаг 1. Четверть

• Во II четверти $\sin a > 0$, $\cos a < 0$.

Шаг 2. Найти $\cos a$:

$$\cos^2 a = 1 — \sin^2 a = 1 — 0{,}8^2 = 1 — 0{,}64 = 0{,}36$$

В II четверти $\cos a < 0$, значит:

$$\cos a = -\sqrt{0{,}36} = -0{,}6$$

Шаг 3. Найти $\tan a$:

$$\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{0{,}8}{-0{,}6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$$

Шаг 4. Найти $\cot a$:

$$\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{1}{-\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4}$$

Ответ по 2):

$$\cos a = -0{,}6, \quad \tan a = -\frac{4}{3}, \quad \cot a = -\frac{3}{4}$$

Задача 3

$$\tan a = \frac{15}{8}, \quad \pi < a < \frac{3\pi}{2}$$

Шаг 1. Четверть

• III четверть: $\sin a < 0$, $\cos a < 0$, $\tan a > 0$.

Шаг 2. Найти $\cos a$:

$$\cos^2 a = \frac{1}{1 + \tan^2 a} = \frac{1}{1 + \left(\frac{15}{8}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{225}{64}} = \frac{1}{\frac{289}{64}} = \frac{64}{289}$$

В III четверти $\cos a < 0$, значит:

$$\cos a = -\frac{8}{17}$$

Шаг 3. Найти $\sin a$:

$$\sin a = \cos a \cdot \tan a = -\frac{8}{17} \times \frac{15}{8} = -\frac{15}{17}$$

Шаг 4. Найти $\cot a$:

$$\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{8}{15}$$

Ответ по 3):

$$\cos a = -\frac{8}{17}, \quad \sin a = -\frac{15}{17}, \quad \cot a = \frac{8}{15}$$

Задача 4

$$\cot a = -3, \quad \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi$$

Шаг 1. Найти $\tan a$:

$$\tan a = \frac{1}{\cot a} = -\frac{1}{3}$$

Шаг 2. Четверть

• IV четверть: $\sin a < 0$, $\cos a > 0$, $\tan a < 0$.

Шаг 3. Найти $\cos a$:

$$\cos^2 a = \frac{1}{1 + \tan^2 a} = \frac{1}{1 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{1}{\frac{10}{9}} = \frac{9}{10}$$

В IV четверти $\cos a > 0$, значит:

$$\cos a = \frac{3}{\sqrt{10}}$$

Шаг 4. Найти $\sin a$:

$$\sin a = \cos a \cdot \tan a = \frac{3}{\sqrt{10}} \times \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{\sqrt{10}}$$

Ответ по 4):

$$\tan a = -\frac{1}{3}, \quad \cos a = \frac{3}{\sqrt{10}}, \quad \sin a = -\frac{1}{\sqrt{10}}$$

Задача 5

$$\cos a = 0,8, \quad 0 < a < \frac{\pi}{2}$$

Шаг 1. Четверть

• Угол в I четверти: $\sin a > 0$, $\cos a > 0$.

Шаг 2. Найти $\sin a$

$$\sin^2 a = 1 — \cos^2 a = 1 — (0,8)^2 = 1 — 0,64 = 0,36$$ $$\sin a = +\sqrt{0,36} = 0,6$$

Шаг 3. Найти $\tan a$

$$\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{0,6}{0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$

Шаг 4. Найти $\cot a$

$$\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$$

Ответ по 5):

$$\sin a = 0,6, \quad \tan a = \frac{3}{4}, \quad \cot a = \frac{4}{3}$$

Задача 6

$$\sin a = -\frac{5}{13}, \quad \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi$$

Шаг 1. Четверть

• Угол во IV четверти: $\sin a < 0$, $\cos a > 0$.

Шаг 2. Найти $\cos a$

$$\cos^2 a = 1 — \sin^2 a = 1 — \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 — \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$$ $$\cos a = +\sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$$

Шаг 3. Найти $\tan a$

$$\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = -\frac{5}{13} \times \frac{13}{12} = -\frac{5}{12}$$

Шаг 4. Найти $\cot a$

$$\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{1}{-\frac{5}{12}} = -\frac{12}{5}$$

Ответ по 6):

$$\cos a = \frac{12}{13}, \quad \tan a = -\frac{5}{12}, \quad \cot a = -\frac{12}{5}$$

Задача 7

$$\tan a = -2,4, \quad \frac{\pi}{2} < a < \pi$$

Шаг 1. Четверть

• Угол во II четверти: $\sin a > 0$, $\cos a < 0$, $\tan a < 0$.

Шаг 2. Найти $\cos a$

Преобразуем $\tan a$:

$$\tan a = -2,4 = -\frac{24}{10} = -\frac{12}{5}$$

Используем формулу:

$$\cos^2 a = \frac{1}{1 + \tan^2 a} = \frac{1}{1 + \left(-\frac{12}{5}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{144}{25}} = \frac{1}{\frac{169}{25}} = \frac{25}{169}$$

Знак $\cos a$ в II четверти отрицательный:

$$\cos a = -\frac{5}{13}$$

Шаг 3. Найти $\sin a$

$$\sin a = \cos a \times \tan a = -\frac{5}{13} \times \left(-\frac{12}{5}\right) = \frac{12}{13}$$

Шаг 4. Найти $\cot a$

$$\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{1}{-2,4} = -\frac{5}{12}$$

Ответ по 7):

$$\cos a = -\frac{5}{13}, \quad \sin a = \frac{12}{13}, \quad \cot a = -\frac{5}{12}$$

Задача 8

$$\cot a = \frac{7}{24}, \quad \pi < a < \frac{3\pi}{2}$$

Шаг 1. Четверть

• Угол в III четверти: $\sin a < 0$, $\cos a < 0$, $\cot a > 0$.

Шаг 2. Найти $\tan a$

$$\tan a = \frac{1}{\cot a} = \frac{1}{\frac{7}{24}} = \frac{24}{7}$$

Шаг 3. Найти $\cos a$

$$\cos^2 a = \frac{1}{1 + \tan^2 a} = \frac{1}{1 + \left(\frac{24}{7}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{576}{49}} = \frac{1}{\frac{625}{49}} = \frac{49}{625}$$В III четверти $\cos a < 0$, значит:

$$\cos a = -\frac{7}{25}$$

Шаг 4. Найти $\sin a$

$$\sin a = \cos a \times \tan a = -\frac{7}{25} \times \frac{24}{7} = -\frac{24}{25}$$

Ответ по 8):

$$\tan a = \frac{24}{7}, \quad \cos a = -\frac{7}{25}, \quad \sin a = -\frac{24}{25}$$