ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1091 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение:

1. С 2/(x+1) + C 3/(x+1) =7x;
2. С 3/(x-1) + C 2/(x-1) =4(x-1);
3. C 3/x = 4/15 C 4/(x+2);
4. 5C 3/x = C 4/(x+2);
5. C (3x-1)/(3x+1) =120;
6. C (2x-1)/(2x+1) =36.

1) $C_{x+1}^2 + C_{x+1}^3 = 7x$;

$C_{x+2}^3 = 7x$;

$$\frac{(x+2)!}{(x+2-3)! \cdot 3!} = 7x;$$ $$\frac{(x+2) \cdot (x+1) \cdot x \cdot (x-1)!}{(x-1)! \cdot 3 \cdot 2} = 7x;$$ $$\frac{x^2 + x + 2x + 2}{6} — 7x = 0;$$ $$x^3 + 3x^2 + 2x — 42x = 0;$$ $$x^3 + 3x^2 — 40x = 0;$$ $$x \cdot (x^2 + 3x — 40) = 0;$$

$D = 3^2 + 4 \cdot 40 = 9 + 160 = 169$, тогда:

$$x_1 = \frac{-3 — 13}{2} = -8 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-3 + 13}{2} = 5;$$

Ответ: $x = 5$.

2) $C_{x-1}^3 + C_{x-1}^2 = 4(x-1)$;

$C_x^3 = 4(x-1)$;

$$\frac{x!}{(x-3)! \cdot 3!} = 4(x-1);$$ $$\frac{x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \cdot (x-3)!}{(x-3)! \cdot 3 \cdot 2} — 4 \cdot (x-1) = 0;$$ $$\frac{x(x-2)}{6} — 4 = 0;$$ $$x^2 — 2x — 24 = 0;$$

$D = 2^2 + 4 \cdot 24 = 4 + 96 = 100$, тогда:

$$x_1 = \frac{2 — 10}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 10}{2} = 6;$$

Ответ: $x = 6$.

3) $C_x^3 = \frac{4}{15} \cdot C_{x+2}^4$;

$$\frac{x!}{(x-3)! \cdot 3!} = \frac{4}{15} \cdot \frac{(x+2)!}{(x+2-4)! \cdot 4!};$$ $$\frac{x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \cdot (x-3)!}{(x-3)! \cdot 3 \cdot 2} = \frac{4}{15} \cdot \frac{(x+2) \cdot (x+1) \cdot x \cdot (x-1) \cdot (x-2)!}{(x-2)! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2};$$ $$\frac{x-2}{6} = \frac{4}{15} \cdot \frac{(x+2) \cdot (x+1)}{24};$$ $$x-2 = \frac{1}{15} \cdot (x^2 + 3x + 2);$$ $$15x — 30 = x^2 + 3x + 2;$$ $$x^2 — 12x + 32 = 0;$$

$D = 12^2 — 4 \cdot 32 = 144 — 128 = 16$, тогда:

$$x_1 = \frac{12 — 4}{2} = 4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{12 + 4}{2} = 8;$$

Ответ: $x_1 = 4$; $x_2 = 8$.

4) $5 \cdot C_x^3 = C_{x+2}^4$;

$$5 \cdot \frac{x!}{(x-3)! \cdot 3!} = \frac{(x+2)!}{(x+2-4)! \cdot 4!};$$ $$5 \cdot \frac{x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \cdot (x-3)!}{(x-3)! \cdot 3 \cdot 2} = \frac{(x+2) \cdot (x+1) \cdot x \cdot (x-1) \cdot (x-2)!}{(x-2)! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2};$$ $$\frac{5 \cdot (x-2)}{6} = \frac{(x+2)(x+1)}{24};$$ $$20(x-2) = x^2 + 2x + x + 2;$$ $$20x — 40 = x^2 + 3x + 2;$$ $$x^2 — 17x + 42 = 0;$$

$D = 17^2 — 4 \cdot 42 = 289 — 168 = 121$, тогда:

$$x_1 = \frac{17 — 11}{2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{17 + 11}{2} = 14;$$

Ответ: $x_1 = 3$; $x_2 = 14$.

5) $C_{3x+1}^{3x-1} = 120$;

$$\frac{(3x+1)!}{(3x+1-(3x-1))! \cdot (3x-1)!} = 120;$$ $$\frac{(3x+1)!}{2! \cdot (3x-1)!} = 120;$$ $$\frac{(3x+1) \cdot 3x \cdot (3x-1)!}{2! \cdot (3x-1)!} — 120 = 0;$$ $$\frac{(3x+1) \cdot 3x}{2} — 120 = 0;$$ $$9x^2 + 3x — 240 = 0;$$ $$3x^2 + x — 80 = 0;$$

$D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 80 = 1 + 960 = 961$, тогда:

$$x_1 = \frac{-1 — 31}{2 \cdot 3} = -\frac{32}{6} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 31}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5;$$

Ответ: $x = 5$.

6) $C_{2x+1}^{2x-1} = 36$;

$$\frac{(2x+1)!}{(2x+1-(2x-1))! \cdot (2x-1)!} = 36;$$ $$\frac{(2x+1)!}{2! \cdot (2x-1)!} = 36;$$ $$\frac{(2x+1) \cdot 2x \cdot (2x-1)!}{2! \cdot (2x-1)!} — 36 = 0;$$ $$\frac{(2x+1) \cdot 2x}{2} — 36 = 0;$$ $$4x^2 + 2x — 72 = 0;$$ $$2x^2 + x — 36 = 0;$$

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 36 = 1 + 288 = 289$, тогда:

$$x_1 = \frac{-1 — 17}{2 \cdot 2} = -\frac{18}{4} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4;$$

Ответ: $x = 4$.

Задача 1: $C_{x+1}^2 + C_{x+1}^3 = 7x$

Шаг 1: Используем рекуррентное свойство сочетаний

Сначала применим рекуррентное свойство сочетаний:

$$C_{x+1}^2 + C_{x+1}^3 = C_{x+2}^3$$

Таким образом, уравнение можно переписать как:

$$C_{x+2}^3 = 7x$$

Шаг 2: Используем формулу для сочетаний $C_{x+2}^3$

Согласно формуле сочетаний:

$$C_{x+2}^3 = \frac{(x+2)!}{(x+2-3)! \cdot 3!} = \frac{(x+2)!}{3! \cdot (x-1)!}$$

Упростим это выражение:

$$C_{x+2}^3 = \frac{(x+2)(x+1)x(x-1)!}{(x-1)! \cdot 6}$$

Сократим $(x-1)!$:

$$C_{x+2}^3 = \frac{(x+2)(x+1)x}{6}$$

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$$\frac{(x+2)(x+1)x}{6} = 7x$$

Шаг 3: Упростим уравнение

Умножим обе части уравнения на 6:

$$(x+2)(x+1)x = 42x$$

Сократим на $x$ (при $x \neq 0$):

$$(x+2)(x+1) = 42$$

Раскроем скобки:

$$x^2 + 3x + 2 = 42$$

Теперь решим квадратное уравнение:

$$x^2 + 3x — 40 = 0$$

Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения

Для нахождения корней используем дискриминант:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169$$

Теперь находим корни:

$$x_1 = \frac{-3 — \sqrt{169}}{2} = \frac{-3 — 13}{2} = -8$$ $$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-3 + 13}{2} = 5$$

Ответ для задачи 1: $x = 5$

Задача 2: $C_{x-1}^3 + C_{x-1}^2 = 4(x-1)$

Шаг 1: Используем рекуррентное свойство сочетаний

Используем рекуррентное свойство сочетаний:

$$C_{x-1}^3 + C_{x-1}^2 = C_x^3$$

Таким образом, уравнение сводится к:

$$C_x^3 = 4(x-1)$$

Шаг 2: Применяем формулу для $C_x^3$

Согласно формуле сочетаний:

$$C_x^3 = \frac{x!}{3! \cdot (x-3)!} = \frac{x!}{6 \cdot (x-3)!}$$

Упростим:

$$C_x^3 = \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)!}{(x-3)! \cdot 6}$$

Сократим $(x-3)!$:

$$C_x^3 = \frac{x(x-1)(x-2)}{6}$$

Теперь подставим это в исходное уравнение:

$$\frac{x(x-1)(x-2)}{6} = 4(x-1)$$

Шаг 3: Упростим уравнение

Умножим обе части на 6:

$$x(x-1)(x-2) = 24(x-1)$$

Сократим на $x-1$ (при $x \neq 1$):

$$x(x-2) = 24$$

Раскроем скобки:

$$x^2 — 2x = 24$$

Теперь решим квадратное уравнение:

$$x^2 — 2x — 24 = 0$$

Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения

Для нахождения корней используем дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$$

Теперь находим корни:

$$x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 10}{2} = -4$$ $$x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 10}{2} = 6$$

Ответ для задачи 2: $x = 6$

Задача 3: $C_x^3 = \frac{4}{15} \cdot C_{x+2}^4$

Шаг 1: Применение формул сочетаний

Для начала вспомним формулы для сочетаний:

$$C_x^3 = \frac{x!}{3! \cdot (x-3)!} = \frac{x(x-1)(x-2)}{6}$$ $$C_{x+2}^4 = \frac{(x+2)!}{4! \cdot (x-2)!} = \frac{(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)!}{4! \cdot (x-2)!} = \frac{(x+2)(x+1)x(x-1)}{24}$$

Теперь подставим их в уравнение:

$$\frac{x(x-1)(x-2)}{6} = \frac{4}{15} \cdot \frac{(x+2)(x+1)x(x-1)}{24}$$

Шаг 2: Умножаем обе части уравнения на 24

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 24:

$$24 \cdot \frac{x(x-1)(x-2)}{6} = 24 \cdot \frac{4}{15} \cdot \frac{(x+2)(x+1)x(x-1)}{24}$$

Сократим и упростим:

$$4x(x-1)(x-2) = \frac{4}{15} \cdot (x+2)(x+1)x(x-1)$$

Теперь можно сократить на $x(x-1)$ (при $x \neq 0$ и $x \neq 1$):

$$4(x-2) = \frac{4}{15} \cdot (x+2)(x+1)$$

Шаг 3: Умножим обе части на 15

Умножим обе части уравнения на 15 для избавления от дроби:

$$60(x-2) = 4(x+2)(x+1)$$

Шаг 4: Раскроем скобки

Теперь раскроем скобки:

$$60x — 120 = 4(x^2 + 3x + 2)$$

Упростим уравнение:

$$60x — 120 = 4x^2 + 12x + 8$$

Шаг 5: Переносим все в одну сторону

Теперь перенесем все на одну сторону:

$$0 = 4x^2 + 12x + 8 — 60x + 120$$

Упростим:

$$0 = 4x^2 — 48x + 128$$

Шаг 6: Решение квадратного уравнения

Теперь у нас квадратное уравнение:

$$4x^2 — 48x + 128 = 0$$

Разделим на 4:

$$x^2 — 12x + 32 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = (-12)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 — 128 = 16$$

Теперь находим корни:

$$x_1 = \frac{-(-12) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{12 — 4}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{-(-12) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 4}{2} = 8$$

Ответ для задачи 3: $x_1 = 4$, $x_2 = 8$

Задача 4: $5 \cdot C_x^3 = C_{x+2}^4$

Шаг 1: Применение формул для сочетаний

Сначала используем формулы для сочетаний:

$$C_x^3 = \frac{x!}{3! \cdot (x-3)!} = \frac{x(x-1)(x-2)}{6}$$ $$C_{x+2}^4 = \frac{(x+2)!}{4! \cdot (x-2)!} = \frac{(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)!}{4! \cdot (x-2)!} = \frac{(x+2)(x+1)x(x-1)}{24}$$

Теперь подставим их в уравнение:

$$5 \cdot \frac{x(x-1)(x-2)}{6} = \frac{(x+2)(x+1)x(x-1)}{24}$$

Шаг 2: Умножим обе части на 24

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части на 24:

$$24 \cdot 5 \cdot \frac{x(x-1)(x-2)}{6} = (x+2)(x+1)x(x-1)$$

Сократим на 6:

$$20 \cdot x(x-1)(x-2) = (x+2)(x+1)x(x-1)$$

Теперь сократим на $x(x-1)$ (при $x \neq 0$ и $x \neq 1$):

$$20(x-2) = (x+2)(x+1)$$

Шаг 3: Умножим и упростим

Раскроем скобки:

$$20x — 40 = x^2 + 3x + 2$$

Переносим все на одну сторону:

$$0 = x^2 + 3x + 2 — 20x + 40$$

Упростим:

$$x^2 — 17x + 42 = 0$$

Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения

Для нахождения корней используем дискриминант:

$$D = (-17)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 42 = 289 — 168 = 121$$

Теперь находим корни:

$$x_1 = \frac{-(-17) — \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{17 — 11}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-(-17) + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{17 + 11}{2} = 14$$

Ответ для задачи 4: $x_1 = 3$, $x_2 = 14$

Задача 5: $C_{3x+1}^{3x-1} = 120$

Шаг 1: Применение формулы для сочетаний

Применяем формулы для сочетаний:

$$C_{3x+1}^{3x-1} = \frac{(3x+1)!}{(3x+1-(3x-1))! \cdot (3x-1)!} = \frac{(3x+1)!}{2! \cdot (3x-1)!}$$

Теперь подставим это в уравнение:

$$\frac{(3x+1)!}{2! \cdot (3x-1)!} = 120$$

Умножим обе части на 2! (которое равно 2):

$$\frac{(3x+1)!}{(3x-1)!} = 240$$

Теперь упростим:

$$(3x+1)(3x)(3x-1)! = 240 \cdot (3x-1)!$$

Сократим на $(3x-1)!$:

$$(3x+1)(3x) = 240$$

Раскроем скобки:

$$9x^2 + 3x = 240$$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Теперь получаем квадратное уравнение:

$$9x^2 + 3x — 240 = 0$$

Поделим на 3:

$$3x^2 + x — 80 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-80) = 1 + 960 = 961$$

Теперь находим корни:

$$x_1 = \frac{-1 — \sqrt{961}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 — 31}{6} = -\frac{32}{6} = -\frac{16}{3}$$ $$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{961}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 31}{6} = \frac{30}{6} = 5$$

Ответ для задачи 5: $x = 5$ (так как отрицательное значение не подходит в контексте задачи с сочетаниями).

Задача 6: $C_{2x+1}^{2x-1} = 36$

Шаг 1: Применение формулы для сочетаний

Применяем формулы для сочетаний:

$$C_{2x+1}^{2x-1} = \frac{(2x+1)!}{(2x+1-(2x-1))! \cdot (2x-1)!} = \frac{(2x+1)!}{2! \cdot (2x-1)!}$$

Подставим в уравнение:

$$\frac{(2x+1)!}{2! \cdot (2x-1)!} = 36$$

Умножим обе части на 2! (которое равно 2):

$$\frac{(2x+1)!}{(2x-1)!} = 72$$

Теперь упростим:

$$(2x+1)(2x)(2x-1)! = 72 \cdot (2x-1)!$$

Сократим на $(2x-1)!$:

$$(2x+1)(2x) = 72$$

Раскроем скобки:

$$4x^2 + 2x = 72$$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Получаем квадратное уравнение:

$$4x^2 + 2x — 72 = 0$$

Поделим на 2:

$$2x^2 + x — 36 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-36) = 1 + 288 = 289$$

Теперь находим корни:

$$x_1 = \frac{-1 — \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 — 17}{4} = -\frac{18}{4} = -4.5$$ $$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 17}{4} = \frac{16}{4} = 4$$

Ответ для задачи 6: $x = 4$

Итоговые ответы:

1. $x = 5$
2. $x = 6$
3. $x_1 = 4$, $x_2 = 8$
4. $x_1 = 3$, $x_2 = 14$
5. $x = 5$
6. $x=4$