ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 211 Алимов — Подробные Ответы

1. 3^(2x-1) + 3^2x =108;
2. 2^(3x+2) — 2^(3x-2) =30;
3. 2^(x+1) + 2^(x-1)+2x =28;
4. 3^(x-1) — 3x + 3^(x+1) =63.

1. $3^{2x-1} + 3^{2x} = 108$;
   $3^{2x} \cdot (3^{-1} + 1) = 108$;
   $3^{2x} \cdot \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{3} \right) = 108$;
   $3^{2x} \cdot \frac{4}{3} = 108$;
   $3^{2x} = 81$;
   $3^{2x} = 3^4$;
   $2x = 4$, отсюда $x = 2$;
   Ответ: $x = 2$.
2. $2^{3x+2} — 2^{3x-2} = 30$;
   $2^{3x} \cdot (2^2 — 2^{-2}) = 30$;
   $2^{3x} \cdot \left( 4 — \frac{1}{2^2} \right) = 30$;
   $2^{3x} \cdot \left( \frac{16}{4} — \frac{1}{4} \right) = 30$;
   $2^{3x} \cdot \frac{15}{4} = 30$;
   $2^{3x} = 8$;
   $2^{3x} = 2^3$;
   $3x = 3$, отсюда $x = 1$;
   Ответ: $x = 1$.
3. $2^{x+1} + 2^{x-1} + 2^x = 28$;
   $2^x \cdot (2^1 + 2^{-1} + 1) = 28$;
   $2^x \cdot \left( 3 + \frac{1}{2} \right) = 28$;
   $2^x \cdot \left( \frac{6}{2} + \frac{1}{2} \right) = 28$;
   $2^x \cdot \frac{7}{2} = 28$;
   $2^x = 8$;
   $2^x = 2^3$, отсюда $x = 3$;
   Ответ: $x = 3$.
4. $3^{x-1} — 3^x + 3^{x+1} = 63$;
   $3^x \cdot (3^{-1} — 1 + 3^1) = 63$;
   $3^x \cdot \left( \frac{1}{3} + 2 \right) = 63$;
   $3^x \cdot \left( \frac{1}{3} + \frac{6}{3} \right) = 63$;
   $3^x \cdot \frac{7}{3} = 63$;
   $3^x = 27$;
   $3^x = 3^3$, отсюда $x = 3$;
   Ответ: $x = 3$.

$3^{2x-1} + 3^{2x} = 108$;
Первоначально выделим общий множитель $3^{2x}$. Для этого преобразуем выражение:

$$3^{2x-1} + 3^{2x} = 3^{2x} \cdot 3^{-1} + 3^{2x}.$$

Теперь вынесем $3^{2x}$ за скобки:

$$3^{2x} \cdot (3^{-1} + 1) = 108.$$

Упростим выражение в скобках:

$$3^{-1} = \frac{1}{3}, \quad 1 = \frac{3}{3}.$$

Таким образом:

$$3^{2x} \cdot \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{3} \right) = 3^{2x} \cdot \frac{4}{3}.$$

Подставляем это в исходное уравнение:

$$3^{2x} \cdot \frac{4}{3} = 108.$$

Умножим обе стороны на 3:

$$3^{2x} \cdot 4 = 324.$$

Разделим обе стороны на 4:

$$3^{2x} = \frac{324}{4} = 81.$$

Теперь представим 81 как степень числа 3:

$$81 = 3^4.$$

Получаем:

$$3^{2x} = 3^4.$$

Поскольку основания одинаковые, приравняем показатели степени:

$$2x = 4.$$

Отсюда:

$$x = \frac{4}{2} = 2.$$

Ответ: $x = 2$.

$2^{3x+2} — 2^{3x-2} = 30$;
Начнем с выделения общего множителя $2^{3x}$. Для этого перепишем выражение:

$$2^{3x+2} — 2^{3x-2} = 2^{3x} \cdot 2^2 — 2^{3x} \cdot 2^{-2}.$$

Вынесем $2^{3x}$ за скобки:

$$2^{3x} \cdot (2^2 — 2^{-2}) = 30.$$

Упростим выражения в скобках:

$$2^2 = 4, \quad 2^{-2} = \frac{1}{4}.$$

Таким образом:

$$2^{3x} \cdot \left( 4 — \frac{1}{4} \right) = 30.$$

Преобразуем выражение в скобках:

$$4 — \frac{1}{4} = \frac{16}{4} — \frac{1}{4} = \frac{15}{4}.$$

Подставляем это обратно в уравнение:

$$2^{3x} \cdot \frac{15}{4} = 30.$$

Умножим обе стороны на 4:

$$2^{3x} \cdot 15 = 120.$$

Разделим обе стороны на 15:

$$2^{3x} = \frac{120}{15} = 8.$$

Теперь представим 8 как степень числа 2:

$$8 = 2^3.$$

Получаем:

$$2^{3x} = 2^3.$$

Поскольку основания одинаковые, приравняем показатели степени:

$$3x = 3.$$

Отсюда:

$$x = \frac{3}{3} = 1.$$

Ответ: $x = 1$.

$2^{x+1} + 2^{x-1} + 2^x = 28$;
Начнем с выделения общего множителя $2^x$. Для этого перепишем выражение:

$$2^{x+1} + 2^{x-1} + 2^x = 2^x \cdot 2^1 + 2^x \cdot 2^{-1} + 2^x.$$

Вынесем $2^x$ за скобки:

$$2^x \cdot (2^1 + 2^{-1} + 1) = 28.$$

Упростим выражения в скобках:

$$2^1 = 2, \quad 2^{-1} = \frac{1}{2}.$$

Таким образом:

$$2^x \cdot \left( 2 + \frac{1}{2} + 1 \right) = 28.$$

Преобразуем выражение в скобках:

$$2 + \frac{1}{2} + 1 = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} + \frac{2}{2} = \frac{7}{2}.$$

Подставляем это обратно в уравнение:

$$2^x \cdot \frac{7}{2} = 28.$$

Умножим обе стороны на 2:

$$2^x \cdot 7 = 56.$$

Разделим обе стороны на 7:

$$2^x = \frac{56}{7} = 8.$$

Теперь представим 8 как степень числа 2:

$$8 = 2^3.$$

Получаем:

$$2^x = 2^3.$$

Поскольку основания одинаковые, приравняем показатели степени:

$$x = 3.$$

Ответ: $x = 3$.

$3^{x-1} — 3^x + 3^{x+1} = 63$;
Начнем с выделения общего множителя $3^x$. Для этого перепишем выражение:

$$3^{x-1} — 3^x + 3^{x+1} = 3^x \cdot 3^{-1} — 3^x + 3^x \cdot 3^1.$$

Вынесем $3^x$ за скобки:

$$3^x \cdot (3^{-1} — 1 + 3^1) = 63.$$

Упростим выражения в скобках:

$$3^{-1} = \frac{1}{3}, \quad 3^1 = 3.$$

Таким образом:

$$3^x \cdot \left( \frac{1}{3} — 1 + 3 \right) = 63.$$

Преобразуем выражение в скобках:

$$\frac{1}{3} — 1 + 3 = \frac{1}{3} — \frac{3}{3} + \frac{9}{3} = \frac{7}{3}.$$

Подставляем это обратно в уравнение:

$$3^x \cdot \frac{7}{3} = 63.$$

Умножим обе стороны на 3:

$$3^x \cdot 7 = 189.$$

Разделим обе стороны на 7:

$$3^x = \frac{189}{7} = 27.$$

Теперь представим 27 как степень числа 3:

$$27 = 3^3.$$

Получаем:

$$3^x = 3^3.$$

Поскольку основания одинаковые, приравняем показатели степени:

$$x = 3.$$

Ответ: $x = 3$.