ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1362 Алимов — Подробные Ответы

Используя графики синуса или косинуса, найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку [-пи; 3пи]:

1. cosx=-1/2;
2. sinx=-корень 3/2.

Найти корни уравнения на отрезке $[-π; 3π]$;

$\cos x = -\frac{1}{2}$;

$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$

Графики функций $y = \cos x$ и $y = -\frac{1}{2}$:

На искомом отрезке:
$x_1 = -\frac{2\pi}{3};$
$x_2 = \frac{2\pi}{3};$
$x_3 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3};$
$x_4 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3};$

$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n;$

Графики функций $y = \sin x$ и $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:

На искомом отрезке:
$x_1 = (-1)^{-1+1} \cdot \frac{\pi}{3} — \pi = \frac{\pi}{3} — \pi = -\frac{2\pi}{3};$
$x_2 = (-1)^{0+1} \cdot \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3};$
$x_3 = (-1)^{1+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3};$
$x_4 = (-1)^{2+1} \cdot \frac{\pi}{3} + 2\pi = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3};$

1) Уравнение: $\cos x = -\frac{1}{2}$

Шаг 1: Общий вид решения для уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$

Для нахождения корней уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$ необходимо найти углы, при которых косинус равен $-\frac{1}{2}$. Мы знаем, что косинус имеет значение $-\frac{1}{2}$ в углах, которые находятся в 2-й и 3-й четвертях единичной окружности. Эти углы можно выразить через арккосинус:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n$$

где $n$ — целое число, так как косинус периодичен с периодом $2\pi$.

Шаг 2: Нахождение значений углов

Значение арккосинуса для $\frac{1}{2}$ известно:

$$\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$$

Подставляем это в общее выражение:

$$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n$$

Упрощаем:

$$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Это выражение даёт все возможные решения для $\cos x = -\frac{1}{2}$.

Шаг 3: Нахождение корней на отрезке $[-π; 3π]$

Теперь необходимо найти корни на интервале $[-π; 3π]$. Подставим различные значения $n$ в выражение для $x$, чтобы найти решения на этом интервале:

Для $n = 0$:

$$x = \pm \frac{2\pi}{3}$$

Получаем два значения:

$$x_1 = -\frac{2\pi}{3}, \quad x_2 = \frac{2\pi}{3}$$

Для $n = 1$:

$$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi$$

Вычисляем:

$$x_3 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}, \quad x_4 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$$

Таким образом, получаем четыре значения, которые соответствуют корням уравнения на интервале $[-π; 3π]$:

$$x_1 = -\frac{2\pi}{3}, \quad x_2 = \frac{2\pi}{3}, \quad x_3 = \frac{4\pi}{3}, \quad x_4 = \frac{8\pi}{3}$$

2) Уравнение: $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 1: Общий вид решения для уравнения $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Для нахождения корней уравнения $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ необходимо найти углы, при которых синус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это происходит в 3-й и 4-й четвертях единичной окружности. Корни синуса выражаются через арксинус:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n$$

где $n$ — целое число, так как синус имеет период $2\pi$.

Шаг 2: Нахождение значений углов

Значение арксинуса для $\frac{\sqrt{3}}{2}$ известно:

$$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$$

Подставляем это в общее выражение:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Таким образом, получаем выражение для всех корней:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 3: Нахождение корней на отрезке $[-π; 3π]$

Теперь найдем корни на интервале $[-π; 3π]$. Подставим различные значения $n$ в выражение для $x$, чтобы найти решения:

Для $n = 0$:

$$x = (-1)^{1} \cdot \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$$

Для $n = 1$:

$$x = (-1)^{2} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$$

Для $n = 2$:

$$x = (-1)^{3} \cdot \frac{\pi}{3} + 2\pi = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$$

Таким образом, получаем три значения, которые соответствуют корням уравнения на интервале $[-π; 3π]$:

$$x_1 = -\frac{2\pi}{3}, \quad x_2 = -\frac{\pi}{3}, \quad x_3 = \frac{4\pi}{3}, \quad x_4 = \frac{5\pi}{3}$$

$$x_1 = -\frac{2\pi}{3}, \quad x_2 = -\frac{\pi}{3}, \quad x_3 = \frac{4\pi}{3}, \quad x_4 = \frac{5\pi}{3}$$