ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1367 Алимов — Подробные Ответы

1. sin2x=3cosx;
2. sin4x=cos4x-si4x;
3. 2cos2x=1+4sin2x;
4. 2cosx + cos2x = 2sinx.

$\sin 2x = 3 \cos x$;

$2 \sin x \cdot \cos x — 3 \cos x = 0$;

$\cos x \cdot (2 \sin x — 3) = 0$;

Первое уравнение:

$\cos x = 0$;

$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

Второе уравнение:

$2 \sin x — 3 = 0$;

$2 \sin x = 3$;

$\sin x = \frac{3}{2}$ — корней нет;

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

$\sin 4x = \cos^4 x — \sin^4 x$;

$2 \sin 2x \cdot \cos 2x = (\cos^2 x — \sin^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$;

$2 \sin 2x \cdot \cos 2x = \cos 2x \cdot 1$;

$\cos 2x \cdot (2 \sin 2x — 1) = 0$;

Первое уравнение:

$\cos 2x = 0$;

$2x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

$x = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$;

Второе уравнение:

$2 \sin 2x — 1 = 0$;

$2 \sin 2x = 1$;

$\sin 2x = \frac{1}{2}$;

$2x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$;

$x = \frac{1}{2} \cdot \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$;

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$; $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$.

$2 \cos^2 x = 1 + 4 \sin 2x$;

$2 \cos^2 x — (\cos^2 x + \sin^2 x) = 4 \sin 2x$;

$\cos^2 x — \sin^2 x = 4 \sin 2x$;

$\cos 2x = 4 \sin 2x \quad | : \sin 2x$;

$\operatorname{ctg} 2x = 4$;

$2x = \operatorname{arcctg} 4 + \pi n$;

$x = \frac{1}{2} \cdot (\operatorname{arcctg} 4 + \pi n) = \frac{1}{2} \operatorname{arcctg} 4 + \frac{\pi n}{2}$;

Ответ: $\frac{1}{2} \operatorname{arcctg} 4 + \frac{\pi n}{2}$.

$2 \cos x + \cos 2x = 2 \sin x$;

$2 \cos x — 2 \sin x + \cos 2x = 0$;

$2(\cos x — \sin x) + (\cos^2 x — \sin^2 x) = 0$;

$(\cos x — \sin x)(2 + \cos x + \sin x) = 0$;

Первое уравнение:

$\cos x — \sin x = 0 \quad | : \cos x$;

$1 — \operatorname{tg} x = 0$;

$\operatorname{tg} x = 1$;

$x = \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$;

Второе уравнение:

$2 + \cos x + \sin x = 0$;

$\cos x + \sin x = -2$ — корней нет;

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n$.

1. $\sin 2x = 3 \cos x$

Решим данное уравнение шаг за шагом:

Применим формулу двойного угла для синуса:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$

Таким образом, уравнение становится:

$$2 \sin x \cos x = 3 \cos x$$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$$\cos x (2 \sin x — 3) = 0$$

Теперь у нас два возможных случая:

$\cos x = 0$

$2 \sin x — 3 = 0$

Первый случай: $\cos x = 0$

Когда $\cos x = 0$, мы знаем, что $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — целое число.

Ответ для этого случая: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Второй случай: $2 \sin x — 3 = 0$

Решаем:

$$2 \sin x = 3$$ $$\sin x = \frac{3}{2}$$

Однако $\sin x$ не может быть больше 1, так как синус функции ограничен значениями от -1 до 1. Следовательно, для этого уравнения нет решений.

Ответ для этого случая: нет решений.

Итак, общее решение для уравнения $\sin 2x = 3 \cos x$:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

2. $\sin 4x = \cos^4 x — \sin^4 x$

Используем формулу разности квадратов:

$$a^4 — b^4 = (a^2 — b^2)(a^2 + b^2)$$

Применим это к $\cos^4 x — \sin^4 x$:

$$\cos^4 x — \sin^4 x = (\cos^2 x — \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x)$$

Поскольку $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, выражение упрощается:

$$\cos^4 x — \sin^4 x = (\cos^2 x — \sin^2 x)$$

Таким образом, уравнение становится:

$$\sin 4x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Применим формулу для $\cos 2x$:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Таким образом, уравнение можно записать как:

$$\sin 4x = \cos 2x$$

Применим формулу для синуса двойного угла:

$$\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$$

Таким образом, уравнение становится:

$$2 \sin 2x \cos 2x = \cos 2x$$

Вынесем $\cos 2x$ за скобки:

$$\cos 2x (2 \sin 2x — 1) = 0$$

Теперь у нас два случая:

$\cos 2x = 0$

$2 \sin 2x — 1 = 0$

Первый случай: $\cos 2x = 0$

Когда $\cos 2x = 0$, мы знаем, что $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — целое число. Разделив обе стороны на 2, получаем:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ для этого случая: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

Второй случай: $2 \sin 2x — 1 = 0$

Решаем:

$$2 \sin 2x = 1$$ $$\sin 2x = \frac{1}{2}$$

Зная, что $\sin 2x = \frac{1}{2}$, получаем:

$$2x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n$$

Так как $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, то:

$$2x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Разделив обе стороны на 2, получаем:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ для этого случая: $x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$.

Общее решение для уравнения $\sin 4x = \cos^4 x — \sin^4 x$:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$

3. $2 \cos^2 x = 1 + 4 \sin 2x$

Перепишем $\sin 2x$ как $2 \sin x \cos x$:

$$2 \cos^2 x = 1 + 4 \cdot 2 \sin x \cos x$$

Это даёт:

$$2 \cos^2 x = 1 + 8 \sin x \cos x$$

Внесем $\cos^2 x$ в левую часть:

$$2 \cos^2 x — (\cos^2 x + \sin^2 x) = 8 \sin x \cos x$$

Поскольку $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, уравнение упрощается:

$$\cos^2 x — \sin^2 x = 8 \sin x \cos x$$

Применим $\cos 2x$ и $\sin 2x$:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x, \quad \sin 2x = 2 \sin x \cos x$$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$$\cos 2x = 4 \sin 2x$$

Разделим обе стороны на $\sin 2x$ (предполагая, что $\sin 2x \neq 0$):

$$\operatorname{ctg} 2x = 4$$

Решаем для $2x$:

$$2x = \operatorname{arcctg} 4 + \pi n$$

Делим обе стороны на 2:

$$x = \frac{1}{2} \cdot (\operatorname{arcctg} 4 + \pi n) = \frac{1}{2} \operatorname{arcctg} 4 + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ для этого случая: $x = \frac{1}{2} \operatorname{arcctg} 4 + \frac{\pi n}{2}$.

4. $2 \cos x + \cos 2x = 2 \sin x$

Используем формулы для $\cos 2x$:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Таким образом, уравнение становится:

$$2 \cos x + \cos^2 x — \sin^2 x = 2 \sin x$$

Перепишем уравнение:

$$2 \cos x — 2 \sin x + \cos^2 x — \sin^2 x = 0$$

Вынесем 2 за скобки:

$$2 (\cos x — \sin x) + (\cos^2 x — \sin^2 x) = 0$$

Используем разность квадратов:

$$(\cos x — \sin x)(2 + \cos x + \sin x) = 0$$

Теперь у нас два случая:

$\cos x — \sin x = 0$

$2 + \cos x + \sin x = 0$

Первый случай: $\cos x — \sin x = 0$

Решаем:

$$\cos x = \sin x$$

Тогда:

$$\tan x = 1$$

Решением этого уравнения будет:

$$x = \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ для этого случая: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$.

Второй случай: $2 + \cos x + \sin x = 0$

Решаем:

$$\cos x + \sin x = -2$$

Однако сумма $\cos x$ и $\sin x$ не может быть равна -2, так как максимальная и минимальная возможные значения этих функций — от -1 до 1. Следовательно, корней нет.

Ответ для этого случая: нет решений.

Общее решение для уравнения $2 \cos x + \cos 2x = 2 \sin x$:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответы:

1. $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$
2. $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \, x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$
3. $x = \frac{1}{2} \operatorname{arcctg} 4 + \frac{\pi n}{2}$
4. $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$