ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 637 Алимов — Подробные Ответы

1. 4 sin 3x + sin 5x — 2 sin x cos 2x = 0;
2. 6 cos 2x sin x + 7 sin 2x = 0.

$4 \sin 3x + \sin 5x — 2 \sin x \cdot \cos 2x = 0$;
$4 \sin 3x + \sin 5x + \sin 2x \cdot \cos x — 2 \sin x \cdot \cos 2x — \sin 2x \cdot \cos x = 0$;
$4 \sin 3x + \sin 5x + \sin(2x — x) — \sin(2x + x) = 0$;
$4 \sin 3x + \sin 5x + \sin x — \sin 3x = 0$;
$3 \sin 3x + 2 \cdot \sin \frac{5x + x}{2} \cdot \cos \frac{5x — x}{2} = 0$;
$3 \sin 3x + 2 \cdot \sin 3x \cdot \cos 2x = 0$;
$\sin 3x \cdot (3 + 2 \cos 2x) = 0$;

Первое уравнение:
$\sin 3x = 0$;
$3x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n$;
$x = \frac{1}{3} \cdot \pi n = \frac{\pi n}{3}$;

Второе уравнение:
$3 + 2 \cos 2x = 0$;
$2 \cos 2x = -3$;
$\cos 2x = -\frac{3}{2}$ — корней нет;

Ответ: $\frac{\pi n}{3}$.

$6 \cos 2x \cdot \sin x + 7 \sin 2x = 0$;
$6 \cos 2x \cdot \sin x + 14 \sin x \cdot \cos x = 0$;
$2 \sin x \cdot (3 \cos 2x + 7 \cos x) = 0$;
$3 \cos 2x + 7 \cos x = 0$;
$3 \cos^2 x — 3 \sin^2 x + 7 \cos x = 0$;
$3 \cos^2 x — 3(1 — \cos^2 x) + 7 \cos x = 0$;
$3 \cos^2 x — 3 + 3 \cos^2 x + 7 \cos x = 0$;
$6 \cos^2 x + 7 \cos x — 3 = 0$;

Пусть $y = \cos x$, тогда:
$6y^2 + 7y — 3 = 0$;

$D = 7^2 + 4 \cdot 6 \cdot 3 = 49 + 72 = 121 = 11^2$, тогда:
$y_1 = \frac{-7 — 11}{2 \cdot 6} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$ и $y_2 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$;

Первое уравнение:
$2 \sin x = 0$;
$\sin x = 0$;
$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n$;

Второе уравнение:
$\cos x = -\frac{3}{2}$ — корней нет;

Третье уравнение:
$\cos x = \frac{1}{3}$;
$x = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$;

Ответ: $\pi n; \, \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$.

1) Уравнение:

$$4 \sin 3x + \sin 5x — 2 \sin x \cdot \cos 2x = 0$$

1. Перепишем уравнение, группируя аналогичные слагаемые:

   $$4 \sin 3x + \sin 5x + \sin 2x \cdot \cos x — 2 \sin x \cdot \cos 2x — \sin 2x \cdot \cos x = 0$$

   В данной стадии у нас несколько видов слагаемых, которые можно трансформировать с помощью тригонометрических тождеств.

2. Применим формулы для преобразования суммы синусов и косинусов:
   • $\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$
3. Перепишем уравнение, используя эти тождества:

   $$4 \sin 3x + \sin 5x + \sin(2x — x) — \sin(2x + x) = 0$$

   Получаем:

   $$4 \sin 3x + \sin 5x + \sin x — \sin 3x = 0$$

4. Упростим:

   $$3 \sin 3x + \sin 5x = 0$$

5. Преобразуем $\sin 5x$, используя формулы сложения углов для синуса:

   $$\sin 5x = \sin(3x + 2x) = \sin 3x \cdot \cos 2x + \cos 3x \cdot \sin 2x$$

   Подставим это в уравнение:

   $$3 \sin 3x + \sin 3x \cdot \cos 2x + \cos 3x \cdot \sin 2x = 0$$

6. Вынесем $\sin 3x$ за скобки:

   $$\sin 3x \cdot (3 + 2 \cos 2x) + \cos 3x \cdot \sin 2x = 0$$

7. Это уравнение можно решить двумя частями:

Первое уравнение:

$$\sin 3x = 0$$

Решение:

$$3x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n$$ $$x = \frac{\pi n}{3}$$

Второе уравнение:

$$3 + 2 \cos 2x = 0$$

Решение:

$$2 \cos 2x = -3$$ $$\cos 2x = -\frac{3}{2}$$

Однако $\cos 2x = -\frac{3}{2}$ не имеет решений, так как $\cos$ не может быть больше 1 или меньше -1.

Ответ:

$$x = \frac{\pi n}{3}$$

2) Уравнение:

$$6 \cos 2x \cdot \sin x + 7 \sin 2x = 0$$

1. Разделим на $\sin x$ (при $\sin x \neq 0$):

   $$6 \cos 2x + 7 \cos x = 0$$

2. Теперь применим тригонометрическое тождество для $\cos 2x = 2 \cos^2 x — 1$:

   $$6(2 \cos^2 x — 1) + 7 \cos x = 0$$

   Упростим:

   $$12 \cos^2 x — 6 + 7 \cos x = 0$$

   Получаем квадратное уравнение:

   $$12 \cos^2 x + 7 \cos x — 6 = 0$$

3. Пусть $y = \cos x$, тогда:

   $$12y^2 + 7y — 6 = 0$$

4. Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

   $$D = 7^2 — 4 \cdot 12 \cdot (-6) = 49 + 288 = 337$$

   Так как дискриминант положительный, у нас два корня:

   $$y_1 = \frac{-7 — \sqrt{337}}{24}, \quad y_2 = \frac{-7 + \sqrt{337}}{24}$$

   Подставим $y_1$ и $y_2$ в $y = \cos x$, получаем два значения для $x$:

   $$x_1 = \arccos \left( \frac{-7 — \sqrt{337}}{24} \right), \quad x_2 = \arccos \left( \frac{-7 + \sqrt{337}}{24} \right)$$

Ответ: $x = \pm \arccos \left( \frac{-7 \pm \sqrt{337}}{24} \right)$