ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 463 Алимов — Подробные Ответы

Известно, что tg а = 2. Найти значение выражения:

1. (ctga+ tga)/(ctga-tga);
2. (sina- cosa)/(sina + cosa);
3. (2sina+ 3cosa)/(3sina-5cosa);
4. (sin2a+ 2cos2a)/(sin2a-cos2a).

Найти значение выражения, если $\operatorname{tg} a = 2$:

1.

$$\frac{\operatorname{ctg} a + \operatorname{tg} a}{\operatorname{ctg} a — \operatorname{tg} a} = \frac{\frac{1}{\operatorname{tg} a} + \operatorname{tg} a}{\frac{1}{\operatorname{tg} a} — \operatorname{tg} a} = \frac{\frac{1}{2} + 2}{\frac{1}{2} — 2} = \frac{0,5 + 2}{0,5 — 2} = \frac{2,5}{-1,5} = -\frac{25}{15} = -\frac{5}{3};$$

Ответ: $-\frac{5}{3}$.

2.

$$\frac{\sin a — \cos a}{\sin a + \cos a} = \frac{\frac{\sin a}{\cos a} — \frac{\cos a}{\cos a}}{\frac{\sin a}{\cos a} + \frac{\cos a}{\cos a}} = \frac{\operatorname{tg} a — 1}{\operatorname{tg} a + 1} = \frac{2 — 1}{2 + 1} = \frac{1}{3};$$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

3.

$$\frac{2 \sin a + 3 \cos a}{3 \sin a — 5 \cos a} = \frac{2 \cdot \frac{\sin a}{\cos a} + 3 \cdot \frac{\cos a}{\cos a}}{3 \cdot \frac{\sin a}{\cos a} — 5 \cdot \frac{\cos a}{\cos a}} = \frac{2 \operatorname{tg} a + 3}{3 \operatorname{tg} a — 5} = \frac{2 \cdot 2 + 3}{3 \cdot 2 — 5} = \frac{7}{1} = 7;$$

Ответ: $7$.

4.

$$\frac{\sin^2 a + 2 \cos^2 a}{\sin^2 a — \cos^2 a} = \frac{\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} + 2 \cdot \frac{\cos^2 a}{\cos^2 a}}{\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} — \frac{\cos^2 a}{\cos^2 a}} = \frac{\operatorname{tg}^2 a + 2}{\operatorname{tg}^2 a — 1} = \frac{2^2 + 2}{2^2 — 1} = \frac{6}{3} = 2;$$

Ответ: $2$.

Дано: $\operatorname{tg} a = 2$

1)

$$\frac{\operatorname{ctg} a + \operatorname{tg} a}{\operatorname{ctg} a — \operatorname{tg} a}$$

Шаг 1: Вспоминаем, что

$$\operatorname{ctg} a = \frac{1}{\operatorname{tg} a}$$

Шаг 2: Подставим в выражение:

$$\frac{\frac{1}{\operatorname{tg} a} + \operatorname{tg} a}{\frac{1}{\operatorname{tg} a} — \operatorname{tg} a}$$

Шаг 3: Подставим $\operatorname{tg} a = 2$:

$$\frac{\frac{1}{2} + 2}{\frac{1}{2} — 2}$$

Шаг 4: Преобразуем дроби:

• Числитель: $\frac{1}{2} + 2 = 0{,}5 + 2 = 2{,}5 = \frac{5}{2}$
• Знаменатель: $\frac{1}{2} — 2 = 0{,}5 — 2 = -1{,}5 = -\frac{3}{2}$

$$\frac{5/2}{-3/2} = \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{-3} = \frac{10}{-6} = -\frac{5}{3}$$

Ответ: $-\dfrac{5}{3}$

2)

$$\frac{\sin a — \cos a}{\sin a + \cos a}$$

Шаг 1: Разделим числитель и знаменатель на $\cos a$:

$$= \frac{\frac{\sin a}{\cos a} — \frac{\cos a}{\cos a}}{\frac{\sin a}{\cos a} + \frac{\cos a}{\cos a}} = \frac{\operatorname{tg} a — 1}{\operatorname{tg} a + 1}$$

Шаг 2: Подставим $\operatorname{tg} a = 2$:

$$\frac{2 — 1}{2 + 1} = \frac{1}{3}$$

Ответ: $\dfrac{1}{3}$

3)

$$\frac{2 \sin a + 3 \cos a}{3 \sin a — 5 \cos a}$$

Шаг 1: Разделим числитель и знаменатель на $\cos a$, то есть:

$$= \frac{2 \cdot \frac{\sin a}{\cos a} + 3 \cdot \frac{\cos a}{\cos a}}{3 \cdot \frac{\sin a}{\cos a} — 5 \cdot \frac{\cos a}{\cos a}} = \frac{2 \operatorname{tg} a + 3}{3 \operatorname{tg} a — 5}$$

Шаг 2: Подставим $\operatorname{tg} a = 2$:

• Числитель: $2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7$
• Знаменатель: $3 \cdot 2 — 5 = 6 — 5 = 1$

$$\frac{7}{1} = 7$$

Ответ: $7$

4)

$$\frac{\sin^2 a + 2 \cos^2 a}{\sin^2 a — \cos^2 a}$$

Шаг 1: Разделим числитель и знаменатель на $\cos^2 a$:

$$= \frac{\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} + 2 \cdot \frac{\cos^2 a}{\cos^2 a}}{\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} — \frac{\cos^2 a}{\cos^2 a}} = \frac{\operatorname{tg}^2 a + 2}{\operatorname{tg}^2 a — 1}$$

Шаг 2: Подставим $\operatorname{tg} a = 2 \Rightarrow \operatorname{tg}^2 a = 4$:

$$\frac{4 + 2}{4 — 1} = \frac{6}{3} = 2$$

Ответ: $2$

Итоговые ответы:

1. $-\dfrac{5}{3}$
2. $\dfrac{1}{3}$
3. $7$
4. $2$