ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 344 Алимов — Подробные Ответы

1. log4((x+2)(x+3))+log4(x-2)/(x+3) = 2;
2. log2((x-1)/(x+4))+log2((x-1)(x+3)) = 2;
3. log3(x2)-log3(x/(x+6)) = 3;
4. log2((x+4)/x)+log2(x2) = 2.

$\log_4((x+2)(x+3)) + \log_4\frac{x-2}{x+3} = 2$;

$${\log }_4\frac{(x+2)(x+3)(x-2)}{x+3}={\log }_4{4}^2;$$

$$\log_4 \frac{(x+2)(x+3)(x-2)}{x+3} = \log_4 4^2;$$ $${\log }_4(x^2-4)={\log }_{4}16;$$

$$\log_4(x^2 — 4) = \log_4 16;$$ $$x^2 — 4 = 16, \text{отсюда } x = \pm \sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5};$$

Выражение имеет смысл при:

$$(x+3)(x+2)>0;$$

$$(x+3)(x+2) > 0;$$ $$x < -3 \text{ и } x > -2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\frac{x-2}{x+3}\ge 0;$$

$$\frac{x-2}{x+3} \geq 0;$$ $$(x+3)(x-2)>0;$$

$$(x+3)(x-2) > 0;$$ $$x < -3 \text{ и } x > 2;$$

Ответ: $x = \pm 2\sqrt{5}$.

$\log_2 \frac{x-1}{x+4} + \log_2((x-1)(x+4)) = 2$;

$${\log }_2\frac{(x-1)(x-1)(x+4)}{x+4}={\log }_2{2}^2;$$

$$\log_2 \frac{(x-1)(x-1)(x+4)}{x+4} = \log_2 2^2;$$ $${\log }_2(x-1{)}^2={\log }_{2}4;$$

$$\log_2(x-1)^2 = \log_2 4;$$ $$(x-1{)}^2=4;$$

$$(x-1)^2 = 4;$$ $$x^2-2x+1=4;$$

$$x^2 — 2x + 1 = 4;$$ $$x^2-2x-3=0;$$

$$x^2 — 2x — 3 = 0;$$ $$D=2^2+4\cdot 3=4+12=16,\text{тогда:}$$

$$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{2-4}{2} = -1 \text{ и } x_2 = \frac{2+4}{2} = 3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\frac{x-1}{x+4}>0;$$

$$\frac{x-1}{x+4} > 0;$$ $$(x+4)(x-1)>0;$$

$$(x+4)(x-1) > 0;$$ $$x < -4 \text{ и } x > 1;$$

Ответ: $x = 3$.

$\log_3 x^2 — \log_3 \frac{x}{x+6} = 3$;

$${\log }_3(x^2:\frac{x}{x+6})=3;$$

$$\log_3 \left( x^2 : \frac{x}{x+6} \right) = 3;$$ $${\log }_3\frac{x^2\cdot (x+6)}{x}={\log }_3{3}^3;$$

$$\log_3 \frac{x^2 \cdot (x+6)}{x} = \log_3 3^3;$$ $${\log }_3(x^2+6x)={\log }_{3}27;$$

$$\log_3(x^2 + 6x) = \log_3 27;$$ $$x^2+6x=27;$$

$$x^2 + 6x = 27;$$ $$x^2+6x-27=0;$$

$$x^2 + 6x — 27 = 0;$$ $$D=6^2+4\cdot 27=36+108=144,\text{тогда:}$$

$$D = 6^2 + 4 \cdot 27 = 36 + 108 = 144, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-6-12}{2} = -9 \text{ и } x_2 = \frac{-6+12}{2} = 3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\frac{x}{x+6}>0;$$

$$\frac{x}{x+6} > 0;$$ $$(x+6)\cdot x>0;$$

$$(x+6) \cdot x > 0;$$ $$x < -6 \text{ и } x > 0;$$

Ответ: $x_1 = -9; \, x_2 = 3$.

$\log_2 \frac{x+4}{x} + \log_2 x^2 = 5$;

$${\log }_2\frac{x^2\cdot (x+4)}{x}={\log }_2{2}^5;$$

$$\log_2 \frac{x^2 \cdot (x+4)}{x} = \log_2 2^5;$$ $${\log }_2(x^2+4x)={\log }_{2}32;$$

$$\log_2(x^2 + 4x) = \log_2 32;$$ $$x^2+4x=32;$$

$$x^2 + 4x = 32;$$ $$x^2+4x-32=0;$$

$$x^2 + 4x — 32 = 0;$$ $$D=4^2+4\cdot 32=16+128=144,\text{тогда:}$$

$$D = 4^2 + 4 \cdot 32 = 16 + 128 = 144, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-4-12}{2} = -8 \text{ и } x_2 = \frac{-4+12}{2} = 4;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\frac{x+4}{x}>0;$$

$$\frac{x+4}{x} > 0;$$ $$(x+4)\cdot x>0;$$

$$(x+4) \cdot x > 0;$$ $$x < -4 \text{ и } x > 0;$$

Ответ: $x_1 = -8; \, x_2 = 4$.

1)

$$\log_4((x+2)(x+3)) + \log_4\frac{x-2}{x+3} = 2$$

Шаг 1. Используем свойства логарифма суммы:

$$\log_4 A + \log_4 B = \log_4 (A \cdot B)$$ $$\log_4((x+2)(x+3)) + \log_4\left(\frac{x-2}{x+3}\right) = \log_4\left((x+2)(x+3) \cdot \frac{x-2}{x+3}\right)$$

Шаг 2. Сократим выражение:

$$(x+3) \text{ сокращается:} \Rightarrow \log_4((x+2)(x-2)) = \log_4(x^2 — 4)$$

Теперь уравнение:

$$\log_4(x^2 — 4) = 2 \Rightarrow x^2 — 4 = 4^2 = 16 \Rightarrow x^2 = 20 \Rightarrow x = \pm\sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5}$$

Шаг 3. ОДЗ:

1. Для $\log_4((x+2)(x+3))$ должно быть:

   $$(x+2)(x+3) > 0 \Rightarrow x < -3 \quad \text{или} \quad x > -2$$

2. Для $\log_4\left(\frac{x-2}{x+3}\right)$:
   дробь > 0, знаменатель ≠ 0

   $$\frac{x-2}{x+3} > 0 \Rightarrow (x-2)(x+3) > 0 \Rightarrow x < -3 \quad \text{или} \quad x > 2$$

Итак, окончательное пересечение двух ОДЗ:

$$x < -3 \quad \text{или} \quad x > 2$$

Шаг 4. Проверка корней:

$$x = \pm 2\sqrt{5} \approx \pm 4.47 \Rightarrow x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$$

Оба корня допустимы.

Ответ: $\boxed{x = \pm 2\sqrt{5}}$

2)

$$\log_2 \frac{x-1}{x+4} + \log_2((x-1)(x+4)) = 2$$

Шаг 1. Объединим логарифмы:

$$\log_2 \left(\frac{x-1}{x+4} \cdot (x-1)(x+4)\right) = \log_2((x-1)^2)$$

Теперь:

$$\log_2(x-1)^2 = 2 \Rightarrow (x-1)^2 = 2^2 = 4$$

Шаг 2. Решим квадратное уравнение:

$$(x-1)^2 = 4 \Rightarrow x — 1 = \pm 2 \Rightarrow x = -1 \text{ или } x = 3$$

Шаг 3. ОДЗ:

1. $\log_2 \frac{x-1}{x+4}$: дробь > 0

   $$(x-1)(x+4) > 0 \Rightarrow x < -4 \text{ или } x > 1$$

2. $\log_2((x-1)(x+4))$: выражение > 0
   То же самое: $x < -4$ или $x > 1$

Шаг 4. Проверка корней:

• $x = -1 \notin$ ОДЗ
• $x = 3 \in$ ОДЗ

Ответ: $\boxed{x = 3}$

3)

$$\log_3 x^2 — \log_3 \frac{x}{x+6} = 3$$

Шаг 1. Преобразуем выражение:

$$\log_3 \left(\frac{x^2}{\frac{x}{x+6}}\right) = \log_3\left(\frac{x^2 \cdot (x+6)}{x}\right) = \log_3(x(x+6)) = \log_3(x^2 + 6x)$$ $$\log_3(x^2 + 6x) = 3 \Rightarrow x^2 + 6x = 3^3 = 27 \Rightarrow x^2 + 6x — 27 = 0$$

Шаг 2. Найдём корни:

$$D = 36 + 4 \cdot 27 = 36 + 108 = 144 \Rightarrow x = \frac{-6 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{-6 \pm 12}{2} \Rightarrow x_1 = -9,\ x_2 = 3$$

Шаг 3. ОДЗ:

1. $\log_3 x^2 \Rightarrow x \ne 0$
2. $\log_3 \frac{x}{x+6} \Rightarrow \frac{x}{x+6} > 0 \Rightarrow x(x+6) > 0 \Rightarrow x < -6 \text{ или } x > 0$

Шаг 4. Проверка:

• $x = -9 \in (-\infty, -6)$ – подходит
• $x = 3 > 0$ – тоже подходит

Ответ: $\boxed{x = -9;\ x = 3}$

4)

$$\log_2 \frac{x+4}{x} + \log_2 x^2 = 5$$

Шаг 1. Объединим логарифмы:

$$\log_2\left(\frac{x+4}{x} \cdot x^2\right) = \log_2(x^2 + 4x)$$ $$\log_2(x^2 + 4x) = 5 \Rightarrow x^2 + 4x = 2^5 = 32 \Rightarrow x^2 + 4x — 32 = 0$$

Шаг 2. Решим квадратное уравнение:

$$D = 4^2 + 4 \cdot 32 = 16 + 128 = 144 \Rightarrow x = \frac{-4 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{-4 \pm 12}{2} \Rightarrow x_1 = -8,\ x_2 = 4$$

Шаг 3. ОДЗ:

1. $\frac{x+4}{x} > 0 \Rightarrow x(x+4) > 0 \Rightarrow x < -4 \text{ или } x > 0$
2. $x^2 > 0 \Rightarrow x \ne 0$

Шаг 4. Проверка:

• $x = -8 < -4$ – подходит
• $x = 4 > 0$ – подходит

Ответ: $\boxed{x = -8;\ x = 4}$

Итоговый ответ:

$$\boxed{ \begin{aligned} &1) \ x = \pm 2\sqrt{5} \\ &2) \ x = 3 \\ &3) \ x = -9,\ 3 \\ &4) \ x = -8,\ 4 \end{aligned} }$$