ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 147 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение 1/(3x+1) — 2/(3x-1) — 5x/(9×2-1) = 3×3/(1-9×2).

Решить уравнение:

$$\frac{1}{3x+1} — \frac{2}{3x-1} — \frac{5x}{9x^2-1} = \frac{3x^2}{1-9x^2};$$

Преобразуем уравнение:

$$\frac{(3x-1)-2(3x+1)}{(3x+1)(3x-1)} — \frac{5x}{9x^2-1} — \frac{3x^2}{1-9x^2} = 0;$$

Решим числитель первой дроби:

$$(3x-1) — 2(3x+1) = 3x — 1 — 6x — 2 = -3x — 3;$$

Получаем:

$$\frac{-3x — 3}{9x^2 — 1} — \frac{5x}{9x^2 — 1} + \frac{3x^2}{9x^2 — 1} = 0;$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{-3x — 3 — 5x + 3x^2}{9x^2 — 1} = 0;$$

Упрощаем числитель:

$$-3x — 3 — 5x + 3x^2 = 3x^2 — 8x — 3;$$

Теперь у нас:

$$\frac{3x^2 — 8x — 3}{9x^2 — 1} = 0;$$

Числитель должен быть равен нулю:

$$3x^2 — 8x — 3 = 0;$$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант:

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100;$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-8) — \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 — 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3},$$

$$x_2 = \frac{-(-8) + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3.$$

Теперь проверим, при каких значениях $x$ выражение имеет смысл. Знаменатель $9x^2 — 1$ не должен равняться нулю:

$$9x^2 — 1 \neq 0,$$

$$9x^2 \neq 1,$$

$$x^2 \neq \frac{1}{9},$$

$$x \neq \pm \frac{1}{3}.$$

Из этого видно, что $x = -\frac{1}{3}$ не является допустимым решением.

Ответ: $x = 3$

Решить уравнение:

$$\frac{1}{3x+1} — \frac{2}{3x-1} — \frac{5x}{9x^2-1} = \frac{3x^2}{1-9x^2};$$

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Начнем с преобразования уравнения. Обратите внимание, что знаменатели $9x^2 — 1$ и $1 — 9x^2$ взаимно обратны друг другу. Мы можем воспользоваться этим фактом, чтобы привести уравнение к общему знаменателю.

Перепишем уравнение:

$$\frac{1}{3x+1} — \frac{2}{3x-1} — \frac{5x}{9x^2-1} = \frac{3x^2}{1-9x^2}$$

Умножим обе части уравнения на $9x^2 — 1$ (что является общим знаменателем для всех дробей):

$$(9x^2 — 1) \cdot \left( \frac{1}{3x+1} — \frac{2}{3x-1} — \frac{5x}{9x^2-1} \right) = (9x^2 — 1) \cdot \frac{3x^2}{1 — 9x^2}.$$

Приводим дроби с общим знаменателем:

$$\frac{(3x — 1) — 2(3x + 1)}{(3x + 1)(3x — 1)} — \frac{5x}{9x^2 — 1} — \frac{3x^2}{1 — 9x^2} = 0.$$

Шаг 2: Упростим числитель

Для первого выражения числитель преобразуем:

$$(3x — 1) — 2(3x + 1) = 3x — 1 — 6x — 2 = -3x — 3.$$

Теперь уравнение выглядит так:

$$\frac{-3x — 3}{9x^2 — 1} — \frac{5x}{9x^2 — 1} + \frac{3x^2}{9x^2 — 1} = 0.$$

Шаг 3: Приведем к общему знаменателю

Общий знаменатель для всех выражений в уравнении уже $9x^2 — 1$. Сложим числители:

$$\frac{-3x — 3 — 5x + 3x^2}{9x^2 — 1} = 0.$$

Шаг 4: Упростим числитель

Упростим числитель:

$$-3x — 3 — 5x + 3x^2 = 3x^2 — 8x — 3.$$

Теперь уравнение имеет вид:

$$\frac{3x^2 — 8x — 3}{9x^2 — 1} = 0.$$

Чтобы дробь равнялась нулю, числитель должен быть равен нулю:

$$3x^2 — 8x — 3 = 0.$$

Шаг 5: Решим квадратное уравнение

Теперь решим квадратное уравнение:

$$3x^2 — 8x — 3 = 0.$$

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, где:

$$D = b^2 — 4ac.$$

Для уравнения $3x^2 — 8x — 3 = 0$, коэффициенты:

$a = 3$

$b = -8$

$c = -3$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100.$$

Корни уравнения находятся по формулам:

$$x_1 = \frac{-(-8) — \sqrt{D}}{2 \cdot 3} = \frac{8 — 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3},$$

$$x_2 = \frac{-(-8) + \sqrt{D}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3.$$

Шаг 6: Определим, при каких значениях $x$ выражение имеет смысл

В выражении $\frac{1}{3x+1}$ и других дробях знаменатели не могут быть равными нулю, то есть $9x^2 — 1 \neq 0$. Рассмотрим это условие:

$$9x^2 — 1 \neq 0,$$

$$9x^2 \neq 1,$$

$$x^2 \neq \frac{1}{9},$$

$$x \neq \pm \frac{1}{3}.$$

Таким образом, $x = -\frac{1}{3}$ является исключенным корнем.

Шаг 7: Итоговый ответ

Из всех найденных корней $x = -\frac{1}{3}$ не подходит, так как приводит к нулю знаменатель. Следовательно, единственный допустимый корень:

$$x = 3.$$

Ответ: $x = 3$