ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 487 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение:

1. sin (а + b) + sin (-а) cos (-b);
2. cos (-а) sin (-b) — sin (а — b);
3. cos (пи/2 — a) * sin (пи/2 — b)- sin(a-b);
4. sin (а + b) + sin(пи/2 — a) * sin (-b).

$\sin(a + \beta) + \sin(-a) \cdot \cos(-\beta) =$

$$= \sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta + (-\sin a) \cdot \cos \beta = \cos a \cdot \sin \beta.$$

Ответ: $\cos a \cdot \sin \beta$.

$\cos(-a) \cdot \sin(-\beta) — \sin(a — \beta) =$

$$= \cos a \cdot (-\sin \beta) — (\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta) =$$ $$= -\cos a \cdot \sin \beta — \sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta = -\sin a \cdot \cos \beta;$$

Ответ: $-\sin a \cdot \cos \beta$.

$\cos\left(\frac{\pi}{2} — a\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} — \beta\right) — \sin(a — \beta) =$

$$= \left(\cos \frac{\pi}{2} \cdot \cos a + \sin \frac{\pi}{2} \cdot \sin a\right)\left(\sin \frac{\pi}{2} \cdot \cos \beta — \cos \frac{\pi}{2} \cdot \sin \beta\right) — \sin(a — \beta) =$$ $$= (0 \cdot \cos a + 1 \cdot \sin a)(1 \cdot \cos \beta — 0 \cdot \sin \beta) — \sin(a — \beta) =$$ $$= \sin a \cdot \cos \beta — (\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta) = \cos a \cdot \sin \beta;$$

Ответ: $\cos a \cdot \sin \beta$.

$\sin(a + \beta) + \sin\left(\frac{\pi}{2} — a\right) \cdot \sin(-\beta) =$

$$= \sin(a + \beta) + \left(\sin \frac{\pi}{2} \cdot \cos a — \cos \frac{\pi}{2} \cdot \sin a\right) \cdot (-\sin \beta) =$$ $$= \sin(a + \beta) + (1 \cdot \cos a — 0 \cdot \sin a) \cdot \sin \beta =$$ $$= \sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta — \cos a \cdot \sin \beta = \sin a \cdot \cos \beta;$$

Ответ: $\sin a \cdot \cos \beta$.

Во всех четырёх пунктах используются основные свойства и формулы тригонометрии:

• Формулы суммы и разности синусов и косинусов.
• Чётность и нечётность тригонометрических функций:

$$\sin(-x) = -\sin x, \quad \cos(-x) = \cos x$$

• Формулы для косинуса и синуса разности углов.

1)

$$\sin(a + \beta) + \sin(-a) \cdot \cos(-\beta)$$

Шаг 1: Развернём $\sin(a + \beta)$ по формуле суммы:

$$\sin(a + \beta) = \sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta$$

Шаг 2: Используем свойства чётности/нечётности:

$$\sin(-a) = -\sin a, \quad \cos(-\beta) = \cos \beta$$

Значит,

$$\sin(-a) \cdot \cos(-\beta) = (-\sin a) \cdot \cos \beta = -\sin a \cdot \cos \beta$$

Шаг 3: Складываем выражения:

$$\sin(a + \beta) + \sin(-a) \cdot \cos(-\beta) = (\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta) — \sin a \cdot \cos \beta$$

Шаг 4: Сокращаем одинаковые слагаемые $\sin a \cdot \cos \beta$:

$$\cos a \cdot \sin \beta$$

Ответ:

$$\boxed{\cos a \cdot \sin \beta}$$

2)

$$\cos(-a) \cdot \sin(-\beta) — \sin(a — \beta)$$

Шаг 1: Используем свойства чётности/нечётности:

$$\cos(-a) = \cos a, \quad \sin(-\beta) = -\sin \beta$$

Следовательно,

$$\cos(-a) \cdot \sin(-\beta) = \cos a \cdot (-\sin \beta) = -\cos a \cdot \sin \beta$$

Шаг 2: Развернём $\sin(a — \beta)$ по формуле разности:

$$\sin(a — \beta) = \sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta$$

Шаг 3: Подставляем в исходное выражение:

$$-\cos a \cdot \sin \beta — (\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta) = -\cos a \cdot \sin \beta — \sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta$$

Шаг 4: Сокращаем слагаемые $-\cos a \cdot \sin \beta$ и $+\cos a \cdot \sin \beta$:

$$-\sin a \cdot \cos \beta$$

Ответ:

$$\boxed{-\sin a \cdot \cos \beta}$$

3)

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — a\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} — \beta\right) — \sin(a — \beta)$$

Шаг 1: Используем формулы приведения:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \sin x, \quad \sin\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \cos x$$

Применяем:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — a\right) = \sin a, \quad \sin\left(\frac{\pi}{2} — \beta\right) = \cos \beta$$

Шаг 2: Переписываем выражение:

$$\sin a \cdot \cos \beta — \sin(a — \beta)$$

Шаг 3: Раскрываем $\sin(a — \beta)$:

$$\sin(a — \beta) = \sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta$$

Шаг 4: Подставляем в выражение:

$$\sin a \cdot \cos \beta — (\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta) = \sin a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta$$

Шаг 5: Сокращаем:

$$\cos a \cdot \sin \beta$$

Ответ:

$$\boxed{\cos a \cdot \sin \beta}$$

4)

$$\sin(a + \beta) + \sin\left(\frac{\pi}{2} — a\right) \cdot \sin(-\beta)$$

Шаг 1: Используем формулы приведения:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} — a\right) = \cos a, \quad \sin(-\beta) = -\sin \beta$$

Шаг 2: Подставляем:

$$\sin(a + \beta) + \cos a \cdot (-\sin \beta) = \sin(a + \beta) — \cos a \cdot \sin \beta$$

Шаг 3: Раскрываем $\sin(a + \beta)$ по формуле суммы:

$$\sin(a + \beta) = \sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta$$

Шаг 4: Подставляем:

$$(\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta) — \cos a \cdot \sin \beta = \sin a \cdot \cos \beta$$

Ответ:

$$\boxed{\sin a \cdot \cos \beta}$$