ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 904 Алимов — Подробные Ответы

1. y=e^(x2+3x);
2. y=3^(x2-x).

$y = e^{x^2 + 3x}$;

Пусть $u = x^2 + 3x$, тогда $y(u) = e^u$;

$$y'(x) = (x^2 + 3x)’ \cdot (e^u)’ = (2x + 3) \cdot e^u = (2x + 3) \cdot e^{x^2 + 3x};$$

Промежуток возрастания:

$$2x + 3 > 0;$$ $$2x > -3, \text{ отсюда } x > -1,5;$$

Ответ: возрастает на $(-1,5; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; -1,5)$.

$y = 3^{x^2 — x}$;

Пусть $u = x^2 — x$, тогда $y(u) = 3^u$;

$$y'(x) = (x^2 — x)’ \cdot (3^u)’ = (2x — 1) \cdot 3^u \cdot \ln 3 = (2x — 1) \cdot 3^{x^2 — x} \cdot \ln 3;$$

Промежуток возрастания:

$$2x — 1 > 0;$$ $$2x > 1, \text{ отсюда } x > 0,5;$$

Ответ: возрастает на $(0,5; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 0,5)$.

1) $y = e^{x^2 + 3x}$

Нужно найти производную функции и исследовать её поведение.

Шаг 1: Применение цепного правила

Функция $y$ является сложной функцией, состоящей из экспоненты и полинома $x^2 + 3x$ в показателе степени. Для нахождения производной будем использовать цепное правило, которое гласит:

$$\frac{d}{dx} \left( e^{u(x)} \right) = e^{u(x)} \cdot u'(x),$$

где $u(x) = x^2 + 3x$.

Таким образом, мы можем записать производную функции $y$ как:

$$y'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^{x^2 + 3x} \right) = e^{x^2 + 3x} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 3x).$$

Шаг 2: Нахождение производной $x^2 + 3x$

Теперь найдем производную выражения $u = x^2 + 3x$:

$$u'(x) = (x^2 + 3x)’ = 2x + 3.$$

Шаг 3: Подстановка в производную

Подставим найденное выражение для $u'(x)$ в производную:

$$y'(x) = (2x + 3) \cdot e^{x^2 + 3x}.$$

Шаг 4: Определение промежутков возрастания и убывания

Теперь найдем промежутки возрастания и убывания функции. Для этого нужно исследовать знак производной $y'(x)$.

Поскольку экспонента $e^{x^2 + 3x}$ всегда положительна для всех значений $x$ (она не может быть отрицательной), знак производной зависит от множителя $2x + 3$. Таким образом, мы изучаем знак выражения $2x + 3$.

Решим неравенство:

$$2x + 3 > 0 \quad \Rightarrow \quad 2x > -3 \quad \Rightarrow \quad x > -1,5.$$

Таким образом, производная положительна, когда $x > -1,5$, и отрицательна, когда $x < -1,5$. Это означает, что функция возрастает на интервале $(-1,5; +\infty)$ и убывает на интервале $(-\infty; -1,5)$.

Ответ: функция возрастает на $(-1,5; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; -1,5)$.

2) $y = 3^{x^2 — x}$

Теперь рассматриваем функцию $y = 3^{x^2 — x}$.

Шаг 1: Применение цепного правила

Функция $y = 3^{x^2 — x}$ представляет собой сложную функцию с основанием 3 и выражением $x^2 — x$ в показателе степени. Чтобы найти её производную, используем цепное правило и формулу для производной от степенной функции с переменным основанием:

$$\frac{d}{dx} \left( a^{u(x)} \right) = a^{u(x)} \cdot \ln(a) \cdot u'(x),$$

где $u(x) = x^2 — x$, а основание $a = 3$.

Применяя эту формулу, получаем:

$$y'(x) = 3^{x^2 — x} \cdot \ln(3) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 — x).$$

Шаг 2: Нахождение производной $x^2 — x$

Теперь найдем производную выражения $u = x^2 — x$:

$$u'(x) = (x^2 — x)’ = 2x — 1.$$

Шаг 3: Подстановка в производную

Подставим $u'(x) = 2x — 1$ в выражение для производной:

$$y'(x) = (2x — 1) \cdot 3^{x^2 — x} \cdot \ln(3).$$

Шаг 4: Определение промежутков возрастания и убывания

Для нахождения промежутков возрастания и убывания исследуем знак производной $y'(x)$. Поскольку $3^{x^2 — x}$ всегда положительно (основание степени 3 всегда положительное), знак производной зависит от множителя $(2x — 1)$.

Решим неравенство:

$$2x — 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad 2x > 1 \quad \Rightarrow \quad x > 0,5.$$

Таким образом, производная положительна, когда $x > 0,5$, и отрицательна, когда $x < 0,5$. Это означает, что функция возрастает на интервале $(0,5; +\infty)$ и убывает на интервале $(-\infty; 0,5)$.

Ответ: функция возрастает на $(0,5; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 0,5)$.