ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 269 Алимов — Подробные Ответы

1. log3(27);
2. log3(81);
3. log3(3);
4. log3(1).

1. $\log_{3} 27 = \log_{3} 3^{3} = 3$;
2. $\log_{3} 81 = \log_{3} 3^{4} = 4$;
3. $\log_{3} 3 = \log_{3} 3^{1} = 1$;
4. $\log_{3} 1 = \log_{3} 3^{0} = 0$;

Разберём логарифмы из задания 269 максимально подробно, с объяснением каждого шага. Основание логарифма — 3, то есть работаем с выражениями вида $\log_3 a$, и вспоминаем:

$\log_b a = x \iff b^x = a$

1) $\log_{3} 27 = \log_{3} 3^{3} = 3$

Шаг 1. Определим, чему равен 27 как степень тройки:

$$3^1 = 3,\quad 3^2 = 9,\quad 3^3 = 27$$

Значит:

$$27 = 3^3$$

Шаг 2. Подставим это в логарифм:

$$\log_3 27 = \log_3 (3^3)$$

Шаг 3. Применим основное свойство логарифма:

$$\log_b (b^x) = x \Rightarrow \log_3 (3^3) = 3$$

✅ Ответ: $\log_{3} 27 = 3$

2) $\log_{3} 81 = \log_{3} 3^{4} = 4$

Шаг 1. Найдём, чему равен 81 как степень числа 3:

$$3^3 = 27,\quad 3^4 = 81 \Rightarrow 81 = 3^4$$

Шаг 2. Подставим:

$$\log_3 81 = \log_3 (3^4)$$

Шаг 3. Используем тождество логарифма:

$$\log_3 (3^4) = 4$$

✅ Ответ: $\log_{3} 81 = 4$

3) $\log_{3} 3 = \log_{3} 3^{1} = 1$

Шаг 1. Число 3 уже есть основание, его можно записать как $3^1$:

$$3 = 3^1$$

Шаг 2. Подставим в логарифм:

$$\log_3 3 = \log_3 (3^1)$$

Шаг 3. Применим правило:

$$\log_3 (3^1) = 1$$

✅ Ответ: $\log_{3} 3 = 1$

4) $\log_{3} 1 = \log_{3} 3^{0} = 0$

Шаг 1. Вспомним, что любое число в степени 0 (кроме нуля) даёт 1:

$$3^0 = 1 \Rightarrow 1 = 3^0$$

Шаг 2. Подставим:

$$\log_3 1 = \log_3 (3^0)$$

Шаг 3. Применим тождество:

$$\log_3 (3^0) = 0$$

✅ Ответ: $\log_{3} 1 = 0$

Итоговое подробное решение:

1. $\log_3 27 = \log_3 (3^3) = 3$
2. $\log_3 81 = \log_3 (3^4) = 4$
3. $\log_3 3 = \log_3 (3^1) = 1$
4. $\log_3 1 = \log_3 (3^0) = 0$