ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 350 Алимов — Подробные Ответы

1. lg(6*5x — 25*20x)-lg25 =x;
2. lg(2x+x+4) = x-xlg.

$\lg(6 \cdot 5^x — 25 \cdot 20^x) — \lg 25 = x$;

$\lg \frac{6 \cdot 5^x — 25 \cdot 20^x}{25} = \lg 10^x$;

$\frac{6 \cdot 5^x — 25 \cdot 20^x}{25} = 10^x$;

$6 \cdot 5^x — 25 \cdot 20^x = 25 \cdot 10^x \quad | : 5^x$;

$25 \cdot 10^x + 25 \cdot 4^x — 6 = 0$;

$25 \cdot 2^{2x} + 25 \cdot 2^x — 6 = 0$;

Пусть $y = 2^x$, тогда:

$25y^2 + 25y — 6 = 0$;

$D = 25^2 + 4 \cdot 25 \cdot 6 = 625 + 600 = 1225$, тогда:

$y_1 = \frac{-25 — 35}{2 \cdot 25} = \frac{-60}{50} = -\frac{6}{5}$;

$y_2 = \frac{-25 + 35}{2 \cdot 25} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$;

Первое значение:

$2^x = -\frac{6}{5}$ — нет корней;

Второе значение:

$2^x = \frac{1}{5}$;

$\log_2 2^x = \log_2 5^{-1}$;

$x = -\log_2 5$;

Ответ: $x = -\log_2 5$.

$\lg(2^x + x + 4) = x — x \lg 5$;

$\lg(2^x + x + 4) = \lg 10^x — x \lg 5$;

$\lg(2^x + x + 4) = \lg \left( \frac{10}{5} \right)^x$;

$2^x + x + 4 = \left( \frac{10}{5} \right)^x$;

$2^x + x + 4 = 2^x$;

$x + 4 = 0$, отсюда $x = -4$;

Ответ: $x = -4$.

1)

Решить уравнение:

$$\lg(6 \cdot 5^x — 25 \cdot 20^x) — \lg 25 = x$$

Шаг 1: Применим свойство логарифмов

Свойство:

$$\lg A — \lg B = \lg\left(\frac{A}{B}\right)$$ $$\lg\left( \frac{6 \cdot 5^x — 25 \cdot 20^x}{25} \right) = x$$

Шаг 2: Перепишем $x$ как логарифм

$$x = \lg 10^x$$

(так как $\lg 10^x = x$, это верно по определению логарифма)

Теперь у нас:

$$\lg\left( \frac{6 \cdot 5^x — 25 \cdot 20^x}{25} \right) = \lg 10^x$$

Шаг 3: Логарифмы равны ⟹ равны аргументы

$$\frac{6 \cdot 5^x — 25 \cdot 20^x}{25} = 10^x$$

Шаг 4: Умножим обе части на 25

$$6 \cdot 5^x — 25 \cdot 20^x = 25 \cdot 10^x$$

Шаг 5: Разделим обе части на $5^x$

Заменим все степени через $5^x$, $20^x = (4 \cdot 5)^x = 4^x \cdot 5^x$, $10^x = 2^x \cdot 5^x$:

$$\frac{6 \cdot 5^x}{5^x} — \frac{25 \cdot 4^x \cdot 5^x}{5^x} = \frac{25 \cdot 2^x \cdot 5^x}{5^x} \Rightarrow 6 — 25 \cdot 4^x = 25 \cdot 2^x$$

Шаг 6: Переносим всё в одну часть

$$25 \cdot 2^x + 25 \cdot 4^x — 6 = 0$$

Шаг 7: Представим $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$

$$25 \cdot 2^{2x} + 25 \cdot 2^x — 6 = 0$$

Шаг 8: Замена переменной

Пусть:

$$y = 2^x \Rightarrow 2^{2x} = y^2$$

Получаем квадратное уравнение:

$$25y^2 + 25y — 6 = 0$$

Шаг 9: Решаем квадратное уравнение

$$D = b^2 — 4ac = 25^2 + 4 \cdot 25 \cdot 6 = 625 + 600 = 1225 \Rightarrow \sqrt{D} = 35$$ $$y_1 = \frac{-25 — 35}{2 \cdot 25} = \frac{-60}{50} = -\frac{6}{5} \quad (\text{не подходит, т.к. } y = 2^x > 0)$$ $$y_2 = \frac{-25 + 35}{2 \cdot 25} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$$

Шаг 10: Возвращаемся к переменной $x$

$$2^x = \frac{1}{5} \Rightarrow x = \log_2 \frac{1}{5} = -\log_2 5$$

Ответ:

$$x = -\log_2 5$$

2)

Решить уравнение:

$$\lg(2^x + x + 4) = x — x \lg 5$$

Шаг 1: Вынесем $x$ за скобки

$$x — x \lg 5 = x(1 — \lg 5)$$

Также:

$$x = \lg 10^x \Rightarrow x(1 — \lg 5) = \lg \left(10^x\right)^{1 — \lg 5} = \lg \left( \frac{10}{5} \right)^x$$

Шаг 2: Перепишем правую часть

$$x — x \lg 5 = \lg \left( \frac{10}{5} \right)^x = \lg(2^x)$$

Значит, уравнение:

$$\lg(2^x + x + 4) = \lg(2^x)$$

Шаг 3: Логарифмы равны → равны аргументы

$$2^x + x + 4 = 2^x$$

Шаг 4: Выразим $x$

$$x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$$

Шаг 5: Проверка ОДЗ

$\lg(2^x + x + 4)$ определена, если аргумент $> 0$:

Проверим:

$$2^{-4} + (-4) + 4 = \frac{1}{16} > 0 \quad \text{— подходит}$$

Ответ:

$$x = -4$$