ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1001 Алимов — Подробные Ответы

Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и параболой:

1. у=04-х2;
2. у = 1 — х2;
3. у =-х2 + 4х — 3.

1) $y = 4 — x^2$;

Первообразная функции:

$$F(x) = 4 \cdot \frac{x^1}{1} — \frac{x^3}{3} = 4x — \frac{x^3}{3} + C;$$

Пересечения с осью $x$:

$$4 — x^2 > 0;$$ $$x^2 < 4;$$ $$-2 < x < 2;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{-2}^{2} (4 — x^2) \, dx = F(2) — F(-2);$$ $$S = 4 \cdot 2 — \frac{2^3}{3} — 4 \cdot (-2) + \frac{(-2)^3}{3} = 8 — \frac{8}{3} + 8 — \frac{8}{3} = 10 \frac{2}{3};$$

Ответ: $10 \frac{2}{3}$.

2) $y = 1 — x^2$;

Первообразная функции:

$$F(x) = 1 \cdot \frac{x^1}{1} — \frac{x^3}{3} = x — \frac{x^3}{3} + C;$$

Пересечения с осью $x$:

$$1 — x^2 > 0;$$ $$x^2 < 1;$$ $$-1 < x < 1;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{-1}^{1} (1 — x^2) \, dx = F(1) — F(-1);$$ $$S = 1 — \frac{1^3}{3} — (-1) + \frac{(-1)^3}{3} = 1 — \frac{1}{3} + 1 — \frac{1}{3} = 2 — \frac{2}{3} = 1 \frac{1}{3};$$

Ответ: $1 \frac{1}{3}$.

3) $y = -x^2 + 4x — 3$;

Первообразная функции:

$$F(x) = -\frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} — 3 \cdot \frac{x^1}{1} = -\frac{x^3}{3} + 2x^2 — 3x + C;$$

Пересечения с осью $x$:

$$-x^2 + 4x — 3 > 0;$$ $$x^2 — 4x + 3 < 0;$$ $$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3;$$ $$(x — 1)(x — 3) < 0;$$ $$1 < x < 3;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x — 3) \, dx = F(3) — F(1);$$ $$S = \frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 — 3 \cdot 3 + \frac{1^3}{3} — 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1;$$ $$S = -9 + 18 — 9 + \frac{1}{3} — 2 + 3 = 1 \frac{1}{3};$$

Ответ: $1 \frac{1}{3}$.

1) $y = 4 — x^2$;

Мы ищем площадь криволинейной трапеции, заключённой между графиком функции $y = 4 — x^2$ и осью $x$.

1.1. Находим первообразную функции.

Для начала найдём первообразную функции $f(x) = 4 — x^2$.

Первообразная функции $f(x) = 4 — x^2$ находим по следующей формуле для интеграла:

$$\int (4 — x^2) \, dx = \int 4 \, dx — \int x^2 \, dx.$$

Первая часть интеграла:

$$\int 4 \, dx = 4x.$$

Вторая часть интеграла:

$$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}.$$

Таким образом, первообразная будет:

$$F(x) = 4x — \frac{x^3}{3} + C.$$

1.2. Находим пересечения с осью $x$.

Для того чтобы найти пересечения графика функции с осью $x$, нужно решить неравенство:

$$4 — x^2 > 0.$$

Решаем это неравенство:

$$x^2 < 4.$$

Из этого неравенства получается, что:

$$-2 < x < 2.$$

Итак, график функции пересекает ось $x$ в пределах от $x = -2$ до $x = 2$.

1.3. Вычисляем площадь криволинейной трапеции.

Теперь, когда мы нашли пределы интегрирования, можем вычислить площадь, используя определённый интеграл.

Площадь криволинейной трапеции выражается через определённый интеграл:

$$S = \int_{-2}^{2} (4 — x^2) \, dx.$$

Используем найденную первообразную:

$$F(x) = 4x — \frac{x^3}{3}.$$

Теперь вычисляем:

$$S = F(2) — F(-2).$$

Подставляем $x = 2$ и $x = -2$ в первообразную:

$$F(2) = 4 \cdot 2 — \frac{2^3}{3} = 8 — \frac{8}{3},$$ $$F(-2) = 4 \cdot (-2) — \frac{(-2)^3}{3} = -8 + \frac{8}{3}.$$

Теперь вычисляем площадь:

$$S = \left( 8 — \frac{8}{3} \right) — \left( -8 + \frac{8}{3} \right) = 8 — \frac{8}{3} + 8 — \frac{8}{3} = 16 — \frac{16}{3}.$$

Преобразуем:

$$S = 16 — \frac{16}{3} = \frac{48}{3} — \frac{16}{3} = \frac{32}{3}.$$

Ответ:

$$S = 10 \frac{2}{3}.$$

2) $y = 1 — x^2$;

Решение аналогично первому, но с другой функцией.

2.1. Находим первообразную функции.

Функция $f(x) = 1 — x^2$, поэтому её первообразная будет:

$$F(x) = x — \frac{x^3}{3} + C.$$

2.2. Находим пересечения с осью $x$.

Для нахождения пересечений решаем неравенство:

$$1 — x^2 > 0.$$

Решаем:

$$x^2 < 1,$$ $$-1 < x < 1.$$

График функции пересекает ось $x$ в пределах от $x = -1$ до $x = 1$.

2.3. Вычисляем площадь криволинейной трапеции.

Площадь выражается через определённый интеграл:

$$S = \int_{-1}^{1} (1 — x^2) \, dx.$$

Используем первообразную:

$$F(x) = x — \frac{x^3}{3}.$$

Вычисляем:

$$S = F(1) — F(-1).$$

Подставляем значения $x = 1$ и $x = -1$:

$$F(1) = 1 — \frac{1^3}{3} = 1 — \frac{1}{3} = \frac{2}{3},$$ $$F(-1) = -1 — \frac{(-1)^3}{3} = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}.$$

Вычитаем:

$$S = \frac{2}{3} — \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}.$$

Ответ:

$$S = 1 \frac{1}{3}.$$

3) $y = -x^2 + 4x — 3$;

Решение для функции второй степени, то есть параболы.

3.1. Находим первообразную функции.

Функция $f(x) = -x^2 + 4x — 3$, и её первообразная будет:

$$F(x) = -\frac{x^3}{3} + 2x^2 — 3x + C.$$

3.2. Находим пересечения с осью $x$.

Для нахождения пересечений решаем неравенство:

$$-x^2 + 4x — 3 > 0,$$

или:

$$x^2 — 4x + 3 < 0.$$

Решаем квадратное неравенство $x^2 — 4x + 3 < 0$ с помощью дискриминанта:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4.$$

Находим корни уравнения $x^2 — 4x + 3 = 0$:

$$x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3.$$

Следовательно, пересечения происходят в пределах от $x = 1$ до $x = 3$.

3.3. Вычисляем площадь криволинейной трапеции.

Площадь выражается через определённый интеграл:

$$S = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x — 3) \, dx.$$

Используем первообразную:

$$F(x) = -\frac{x^3}{3} + 2x^2 — 3x.$$

Вычисляем:

$$S = F(3) — F(1).$$

Подставляем $x = 3$ и $x = 1$ в первообразную:

$$F(3) = -\frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 — 3 \cdot 3 = -9 + 18 — 9 = 0,$$ $$F(1) = -\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 — 3 \cdot 1 = -\frac{1}{3} + 2 — 3 = -\frac{4}{3}.$$

Теперь считаем площадь:

$$S = 0 — \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3}.$$

Ответ:

$$S = 1 \frac{1}{3}.$$

Итоговые ответы:

1. $10 \frac{2}{3}$
2. $1 \frac{1}{3}$
3. $1 \frac{1}{3}$