ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1616 Алимов — Подробные Ответы

Найти все значения а, при которых неравенство log1/2(х2 + ах+ 1) < 1 выполняется для всех х из промежутка (-бесконечность; 0).

Найти все значения $a$, при которых верно неравенство, если $x \in (-\infty; 0)$:

$$\log_{\frac{1}{2}}(x^2 + ax + 1) < 1;$$ $$\log_{\frac{1}{2}}(x^2 + ax + 1) < \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right);$$ $$x^2 + ax + 1 > \frac{1}{2};$$ $$x^2 + ax + 0.5 > 0;$$

Найдем дискриминант:

$$D = a^2 — 4 \cdot 0.5 = a^2 — 2;$$

Так как ветви данной параболы направлены вверх, то неравенство верно при любых значениях $x$, если $D < 0$:

$$a^2 — 2 < 0;$$ $$a^2 < 2;$$ $$-\sqrt{2} < a < \sqrt{2};$$

Корни неравенства:

$$x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 — 2}}{2};$$ $$\left(x — \frac{-a — \sqrt{a^2 — 2}}{2}\right)\left(x — \frac{-a + \sqrt{a^2 — 2}}{2}\right) > 0;$$ $$x < \frac{-a — \sqrt{a^2 — 2}}{2} \quad \text{и} \quad x > \frac{-a + \sqrt{a^2 — 2}}{2};$$

Так как $x < 0$, то неравенство верно при любых значениях $x$, если:

$$\frac{-a — \sqrt{a^2 — 2}}{2} > 0;$$ $$-a — \sqrt{a^2 — 2} > 0;$$ $$-a > \sqrt{a^2 — 2};$$

Если $a < 0$, тогда:

$$-a^2 < a^2 — 2;$$ $$-2a^2 < -2;$$ $$a^2 > 1;$$ $$a < -1 \quad \text{и} \quad a > 1;$$

Если $a > 0$, то корней нет;

Ответ: $a < \sqrt{2}$.

Найти все значения

$a$, при которых верно неравенство, если $x \in (-\infty; 0)$:

$$\log_{\frac{1}{2}}(x^2 + ax + 1) < 1.$$

Шаг 1: Перевод логарифмического неравенства в более удобную форму

Используем свойство логарифма:

$$\log_b(x) < y \quad \text{эквивалентно} \quad x < b^y, \text{ если } b < 1.$$

Так как основание логарифма $\frac{1}{2}$ меньше 1, неравенство можно перевести следующим образом:

$$x^2 + ax + 1 < \left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{1}{2}.$$

Шаг 2: Преобразование неравенства

Теперь неравенство имеет вид:

$$x^2 + ax + 1 < \frac{1}{2}.$$

Переносим $\frac{1}{2}$ влево:

$$x^2 + ax + 1 — \frac{1}{2} < 0,$$ $$x^2 + ax + \frac{1}{2} < 0.$$

Шаг 3: Исследование дискриминанта

Теперь нужно исследовать неравенство:

$$x^2 + ax + \frac{1}{2} < 0.$$

Это неравенство представляет собой квадратичное неравенство относительно $x$. Для того чтобы понять, при каких значениях $a$ оно имеет решение, найдем дискриминант этого квадратного уравнения.

Для уравнения $x^2 + ax + \frac{1}{2} = 0$ дискриминант равен:

$$D = a^2 — 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = a^2 — 2.$$

Шаг 4: Условия для решения неравенства

Парабола $y = x^2 + ax + \frac{1}{2}$ направлена вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положительный. Чтобы неравенство $x^2 + ax + \frac{1}{2} < 0$ имело решение, необходимо, чтобы дискриминант был больше нуля, то есть:

$$D = a^2 — 2 > 0.$$

Решим это неравенство:

$$a^2 > 2,$$ $$a > \sqrt{2} \quad \text{или} \quad a < -\sqrt{2}.$$

Таким образом, для того чтобы уравнение имело два различных корня, $a$ должно удовлетворять условию:

$$a > \sqrt{2} \quad \text{или} \quad a < -\sqrt{2}.$$

Шаг 5: Окружение для решения неравенства

Теперь рассмотрим неравенство $x^2 + ax + \frac{1}{2} < 0$, которое задает промежутки, где парабола $y = x^2 + ax + \frac{1}{2}$ находится ниже оси $x$. Парабола пересекает ось $x$ в точках:

$$x_1 = \frac{-a — \sqrt{a^2 — 2}}{2}, \quad x_2 = \frac{-a + \sqrt{a^2 — 2}}{2}.$$

Таким образом, неравенство $x^2 + ax + \frac{1}{2} < 0$ выполняется на интервале $(x_1, x_2)$. Парабола расположена ниже оси $x$, если $x$ находится между этими двумя корнями.

Шаг 6: Условия на $x$

Поскольку в задаче указано, что $x \in (-\infty; 0)$, нам нужно, чтобы оба корня $x_1$ и $x_2$ находились в интервале $(-\infty, 0)$. Для этого рассматриваем следующее условие:

$$x_1 = \frac{-a — \sqrt{a^2 — 2}}{2} > 0.$$

Решаем неравенство:

$$-a — \sqrt{a^2 — 2} > 0,$$ $$-a > \sqrt{a^2 — 2},$$ $$a^2 < a^2 — 2,$$ $$-2a^2 < -2,$$ $$a^2 > 1,$$ $$a < -1 \quad \text{или} \quad a > 1.$$

Шаг 7: Итоговое решение

Таким образом, на основе найденных условий:

1. Если $a < -1$, то оба корня находятся в интервале $(-\infty, 0)$.
2. Если $a > 1$, то решение не существует, так как корни не удовлетворяют условиям.

Таким образом, окончательное решение задачи:

$$a < -\sqrt{2}.$$

Ответ: $a < \sqrt{2}$.