ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 251 Алимов — Подробные Ответы

1. 2x +2^(х-3) = 18;
2. 3x +4* 3^(x + 1) = 13;
3. 2 * 3^(х + 1) — 6 * 3^(х — 1) — 3х = 9;
4. 5^(x + 1) + 3 * 5^(х-1) — 6 * 5х + 10 = 0.

1)
$2^x + 2^{x-3} = 18;$
$2^x \cdot (1 + 2^{-3}) = 18;$
$2^x \cdot \left( \frac{8}{8} + \frac{1}{8} \right) = 18;$
$2^x \cdot \frac{9}{8} = 18;$
$2^x = 16;$
$2^x = 2^4, \text{отсюда } x = 4;$
Ответ: $x = 4$.

2)
$3^x + 4 \cdot 3^{x+1} = 13;$
$3^x \cdot (1 + 4 \cdot 3^1) = 13;$
$3^x \cdot (1 + 12) = 13;$
$3^x \cdot 13 = 13;$
$3^x = 1;$
$3^x = 3^0, \text{отсюда } x = 0;$
Ответ: $x = 0$.

3)
$2 \cdot 3^{x+1} — 6 \cdot 3^{x-1} — 3^x = 9;$
$3^x \cdot (2 \cdot 3^1 — 6 \cdot 3^{-1} — 1) = 9;$
$3^x \cdot \left( 6 — \frac{6}{3} — 1 \right) = 9;$
$3^x \cdot (6 — 2 — 1) = 9;$
$3^x \cdot 3 = 9;$
$3^x = 3, \text{отсюда } x = 1;$
Ответ: $x = 1$.

4)
$5^{x+1} + 3 \cdot 5^{x-1} — 6 \cdot 5^x + 10 = 0;$
$5^x \cdot (5^1 + 3 \cdot 5^{-1} — 6) = -10;$
$5^x \cdot \left( 5 + \frac{3}{5} — 6 \right) = -10;$
$5^x \cdot \left( \frac{25}{5} + \frac{3}{5} — \frac{30}{5} \right) = -10;$
$5^x \cdot \left( \frac{-2}{5} \right) = -10;$
$5^x = 25;$
$5^x = 5^2, \text{отсюда } x = 2;$
Ответ: $x = 2$.

1)

$$2^x + 2^{x-3} = 18$$

Шаг 1: Вынесем общий множитель $2^x$:

$$2^x + 2^{x-3} = 2^x + 2^x \cdot 2^{-3} = 2^x \cdot (1 + 2^{-3})$$

Шаг 2: Посчитаем $2^{-3}$:

$$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$$

Шаг 3: Подставим обратно:

$$2^x \cdot \left(1 + \frac{1}{8} \right) = 2^x \cdot \frac{9}{8}$$

Шаг 4: Приравниваем к 18:

$$2^x \cdot \frac{9}{8} = 18$$

Шаг 5: Умножим обе части уравнения на $\frac{8}{9}$:

$$2^x = 18 \cdot \frac{8}{9} = 2 \cdot 8 = 16$$

Шаг 6: Представим 16 как степень двойки:

$$2^x = 2^4 \Rightarrow x = 4$$

Ответ: $x = 4$

2)

$$3^x + 4 \cdot 3^{x+1} = 13$$

Шаг 1: Представим $3^{x+1}$ как $3^x \cdot 3^1$:

$$3^x + 4 \cdot 3^x \cdot 3 = 3^x (1 + 4 \cdot 3)$$

Шаг 2: Посчитаем:

$$3^x (1 + 12) = 3^x \cdot 13$$

Шаг 3: Приравниваем к правой части:

$$3^x \cdot 13 = 13$$

Шаг 4: Разделим обе части на 13:

$$3^x = 1$$

Шаг 5: Представим 1 как степень тройки:

$$3^x = 3^0 \Rightarrow x = 0$$

Ответ: $x = 0$

3)

$$2 \cdot 3^{x+1} — 6 \cdot 3^{x-1} — 3^x = 9$$

Шаг 1: Распишем степени:

• $3^{x+1} = 3^x \cdot 3$
• $3^{x-1} = 3^x \cdot 3^{-1} = 3^x \cdot \frac{1}{3}$

Подставим всё в уравнение:

$$2 \cdot 3^x \cdot 3 — 6 \cdot 3^x \cdot \frac{1}{3} — 3^x = 9$$

Шаг 2: Упростим каждое слагаемое:

• $2 \cdot 3^x \cdot 3 = 6 \cdot 3^x$
• $6 \cdot 3^x \cdot \frac{1}{3} = 2 \cdot 3^x$
• Третье слагаемое — просто $3^x$

Получим:

$$6 \cdot 3^x — 2 \cdot 3^x — 3^x = 9$$

Шаг 3: Преобразуем левую часть:

$$(6 — 2 — 1) \cdot 3^x = 3 \cdot 3^x = 9$$

Шаг 4: Разделим обе части на 3:

$$3^x = 3 \Rightarrow x = 1$$

Ответ: $x = 1$

4)

$$5^{x+1} + 3 \cdot 5^{x-1} — 6 \cdot 5^x + 10 = 0$$

Шаг 1: Представим все степени через $5^x$:

• $5^{x+1} = 5^x \cdot 5$
• $5^{x-1} = 5^x \cdot \frac{1}{5}$

Подставим:

$$5^x \cdot 5 + 3 \cdot 5^x \cdot \frac{1}{5} — 6 \cdot 5^x + 10 = 0$$

Шаг 2: Упростим:

• $5^x \cdot 5 = 5 \cdot 5^x$
• $3 \cdot 5^x \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5} \cdot 5^x$

Объединим:

$$\left(5 + \frac{3}{5} — 6\right) \cdot 5^x + 10 = 0$$

Шаг 3: Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{25}{5} + \frac{3}{5} — \frac{30}{5} = \frac{-2}{5}$$

Уравнение:

$$\frac{-2}{5} \cdot 5^x + 10 = 0$$

Шаг 4: Переносим 10 вправо:

$$\frac{-2}{5} \cdot 5^x = -10$$

Шаг 5: Умножим обе части на $-\frac{5}{2}$:

$$5^x = 25 \Rightarrow 5^x = 5^2 \Rightarrow x = 2$$

Ответ: $x = 2$