ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 940 Алимов — Подробные Ответы

Число 50 записать в виде суммы двух чисел, сумма кубов которых наименьшая.

Пусть $x$ и $y$ — данные числа, тогда:
$x + y = 50, \text{ отсюда } y = 50 — x;$
$f(x) = x^3 + y^3 = x^3 + (50 — x)^3;$

Производная функции:
$f'(x) = (x^3) + (50 — x)^3;$
$f'(x) = 3x^2 — 3(50 — x)^2 = 3 \cdot (x^2 — (50 — x)^2);$

Промежуток возрастания:
$x^2 — (50 — x)^2 > 0;$
$x^2 — 2500 + 100x — x^2 > 0;$
$100x > 2500, \text{ отсюда } x > 25;$

Искомые числа:
$x = 25 \quad \text{точка минимума};$
$y = 50 — 25 = 25;$

Ответ: $25 + 25$.

1. Условие задачи

Даны два числа $x$ и $y$, для которых выполняется следующее условие:

$$x + y = 50$$

Нужно найти такие значения $x$ и $y$, при которых функция

$$f(x) = x^3 + y^3$$

достигает минимального значения. Важно, что $y$ зависит от $x$, поскольку $x + y = 50$.

2. Перепишем функцию $f(x)$ через $x$

Сначала выразим $y$ через $x$, используя условие $x + y = 50$:

$$y = 50 — x$$

Теперь подставим это в выражение для функции $f(x)$:

$$f(x) = x^3 + y^3 = x^3 + (50 — x)^3$$

Таким образом, функция, которую нужно минимизировать, выглядит так:

$$f(x) = x^3 + (50 — x)^3$$

3. Найдем производную функции

Чтобы найти минимальное значение функции, нам нужно найти её производную и исследовать критические точки (где производная равна нулю или не существует).

Применим правило дифференцирования к функции $f(x) = x^3 + (50 — x)^3$:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(x^3\right) + \frac{d}{dx}\left( (50 — x)^3 \right)$$

Дифференцируем по правилу степени:

$$\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$$

Используем цепное правило для дифференцирования $(50 — x)^3$:

$$\frac{d}{dx}((50 — x)^3) = 3(50 — x)^2 \cdot \frac{d}{dx}(50 — x) = -3(50 — x)^2$$

Теперь подставим эти выражения в производную:

$$f'(x) = 3x^2 — 3(50 — x)^2$$

Можно вынести общий множитель 3:

$$f'(x) = 3 \left( x^2 — (50 — x)^2 \right)$$

4. Найдем критические точки

Теперь, чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

$$3 \left( x^2 — (50 — x)^2 \right) = 0$$

Так как множитель 3 не равен нулю, можно упростить:

$$x^2 — (50 — x)^2 = 0$$

Раскроем скобки:

$$x^2 — (2500 — 100x + x^2) = 0$$

Упростим:

$$x^2 — 2500 + 100x — x^2 = 0$$

Сокращаем $x^2$ с обеих сторон:

$$-2500 + 100x = 0$$

Теперь решим относительно $x$:

$$100x = 2500$$ $$x = \frac{2500}{100} = 25$$

Таким образом, критическая точка $x = 25$.

5. Проверим, является ли эта точка минимумом

Для того чтобы убедиться, что $x = 25$ — это точка минимума, нужно проверить знак второй производной или исследовать поведение функции на интервалах, разделённых критической точкой.

В данном случае, для упрощения, можно заметить, что $f'(x) = 3(x^2 — (50 — x)^2)$ меняет знак на интервале от $x < 25$ и $x > 25$. Если $x < 25$, то $f'(x) < 0$, и функция убывает. Если $x > 25$, то $f'(x) > 0$, и функция возрастает. Таким образом, функция достигает минимума в точке $x = 25$.

6. Найдем значение $y$

Из условия задачи знаем, что $y = 50 — x$. Подставляем $x = 25$:

$$y = 50 — 25 = 25$$

7. Ответ

Таким образом, для минимизации функции $f(x)$ значения $x$ и $y$ должны быть равны 25:

$$x = 25, \quad y = 25$$

Ответ: $25 + 25 = 50$.