ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 761 Алимов — Подробные Ответы

Найти наименьший положительный период функции:

1. y=cos7x;
2. y=sinx/7.

1) $y = \cos 7x$

• $y(x + T) = y(x)$;
• $\cos(7 \cdot (x + T)) = \cos 7x$;
• $\cos(7x + 7T) = \cos 7x$;
• $7T = 2\pi$, отсюда $T = \frac{2\pi}{7}$;
• Ответ: $\frac{2\pi}{7}$.

2) $y = \sin \frac{x}{7}$

• $y(x + T) = y(x)$;
• $\sin\left(\frac{1}{7} \cdot (x + T)\right) = \sin \frac{x}{7}$;
• $\sin\left(\frac{x}{7} + \frac{T}{7}\right) = \sin \frac{x}{7}$;
• $\frac{T}{7} = 2\pi$;
• $T = 7 \cdot 2\pi = 14\pi$;
• Ответ: $14\pi$.

1) $y = \cos 7x$

Цель: Найти период функции $y = \cos 7x$.

Шаг 1. Определение понятия периода функции

Функция $f(x)$ называется периодической с периодом $T$, если при любом $x$ выполняется равенство:

$$f(x + T) = f(x)$$

для некоторого положительного числа $T > 0$. При этом $T$ называют наименьшим положительным периодом, если не существует меньшего положительного числа с этим свойством.

Шаг 2. Период базовой функции $\cos x$

Функция косинуса $\cos x$ является периодической с периодом:

$$2\pi$$

То есть:

$$\cos(x + 2\pi) = \cos x$$

Шаг 3. Запишем условие периода для функции $y = \cos 7x$

Для функции $y = \cos 7x$ проверим условие периода $T$:

$$y(x + T) = y(x)$$

Подставим $y$:

$$\cos(7(x + T)) = \cos(7x)$$

Шаг 4. Раскроем скобки

$$\cos(7x + 7T) = \cos(7x)$$

Шаг 5. Свойство косинуса

Из свойства косинуса известно, что:

$$\cos \alpha = \cos \beta \iff \alpha = \beta + 2\pi k \quad \text{или} \quad \alpha = -\beta + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Применим это к $\alpha = 7x + 7T$ и $\beta = 7x$:

В нашем случае:

• Первый вариант:

$$7x + 7T = 7x + 2\pi k$$

• Второй вариант:

$$7x + 7T = -7x + 2\pi k$$

Шаг 6. Решим первый вариант

Вычтем $7x$ с обеих сторон:

$$7T = 2\pi k$$

Тогда период $T$ равен:

$$T = \frac{2\pi k}{7}$$

Период должен быть положительным и минимальным, поэтому выберем $k = 1$:

$$T = \frac{2\pi}{7}$$

Шаг 7. Проверим второй вариант

Второй вариант даёт уравнение:

$$7x + 7T = -7x + 2\pi k$$

Переносим $7x$ в правую часть:

$$7T = -14x + 2\pi k$$

Это выражение зависит от $x$, что невозможно для периода (период — константа, не зависящая от $x$). Следовательно, второй вариант не подходит.

Шаг 8. Вывод для функции $\cos 7x$

Наименьший положительный период функции:

$$\boxed{T = \frac{2\pi}{7}}$$

2) $y = \sin \frac{x}{7}$

Шаг 1. Определение периода функции $y = \sin \frac{x}{7}$

Функция синуса $\sin x$ имеет период $2\pi$, то есть:

$$\sin(x + 2\pi) = \sin x$$

Шаг 2. Запишем условие периода для функции $y = \sin \frac{x}{7}$

Ищем $T > 0$, такой что:

$$y(x + T) = y(x)$$

Подставляем:

$$\sin \left( \frac{x + T}{7} \right) = \sin \frac{x}{7}$$

Шаг 3. Запишем в удобном виде

$$\sin \left( \frac{x}{7} + \frac{T}{7} \right) = \sin \frac{x}{7}$$

Шаг 4. Используем периодичность синуса

Из свойства синуса:

$$\sin \alpha = \sin \beta \iff \alpha = \beta + 2\pi k \quad \text{или} \quad \alpha = \pi — \beta + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Шаг 5. Применим к нашему случаю

Пусть $\alpha = \frac{x}{7} + \frac{T}{7}$, а $\beta = \frac{x}{7}$:

Варианты:

1. $\frac{x}{7} + \frac{T}{7} = \frac{x}{7} + 2\pi k$
2. $\frac{x}{7} + \frac{T}{7} = \pi — \frac{x}{7} + 2\pi k$

Шаг 6. Решим первый вариант

Вычитаем $\frac{x}{7}$:

$$\frac{T}{7} = 2\pi k$$

Период:

$$T = 7 \cdot 2\pi k = 14\pi k$$

Берём минимальный положительный период при $k=1$:

$$T = 14\pi$$

Шаг 7. Проверим второй вариант

$$\frac{x}{7} + \frac{T}{7} = \pi — \frac{x}{7} + 2\pi k$$

Переносим $\frac{x}{7}$ вправо:

$$\frac{T}{7} = \pi — \frac{2x}{7} + 2\pi k$$

Зависимость от $x$ не допускается для периода. Значит, второй вариант не подходит.

Шаг 8. Вывод для функции $\sin \frac{x}{7}$

Наименьший положительный период:

$$\boxed{T = 14\pi}$$