ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 334 Алимов — Подробные Ответы

Построить график функции, найти её область определения и множество значений, указать промежутки монотонности:

1. у = |log3(x)|;
2. у = log3 |х|;
3. у = log2 |3 — х|;
4. у = |1 — log2(х)|.

1) $y = |\log_3 x|$

• Рассмотрим функцию $y = \log_3 x$:
  • Область определения: $x > 0$;
  • Множество значений: $y \in \mathbb{R}$;
  • Функция возрастает, так как $3 > 1$;

  Таблица значений:

  $$\overline{)\begin{array}{cccc}x& 1& 3& 9\\ y& 0& 1& 2\end{array}}$$

• Ответ:

  $$D(x) = (0; +\infty), \quad E(y) = [0; +\infty);$$

  Возрастает на $(1; +\infty)$ и убывает на $(0; 1)$.

2) $y = \log_3 |x|$

• Функция является четной:

  $$y(-x) = \log_3 |-x| = \log_3 |x| = y(x);$$

  Если $x \geq 0$, тогда $y = \log_3 x$, значит:

  • Область определения: $x > 0$;
  • Множество значений: $y \in \mathbb{R}$;
  • Функция возрастает, так как $3 > 1$;

  Таблица значений:

  $$\overline{)\begin{array}{cccc}x& 1& 3& 9\\ y& 0& 1& 2\end{array}}$$

• Ответ:

  $$D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty), \quad E(y) = (-\infty; +\infty);$$

  Возрастает на $(0; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 0)$.

3) $y = \log_3 |3 — x|$

• Ось симметрии графика функции:

  $$3 — x = 0, \text{ отсюда } x = 3;$$

• Рассмотрим функцию $\log_3 x$:
  • Область определения: $x > 0$;
  • Множество значений: $y \in \mathbb{R}$;
  • Функция возрастает, так как $3 > 1$;

  Таблица значений:

  $$\overline{)\begin{array}{cccc}x& 1& 3& 9\\ y& 0& 1& 2\end{array}}$$

• Ответ:

  $$D(x) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty), \quad E(y) = (-\infty; +\infty);$$

  Возрастает на $(3; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 3)$.

4) $y = |1 — \log_2 x|$

• Рассмотрим функцию $y = \log_2 x$:
  • Область определения: $x > 0$;
  • Множество значений: $y \in \mathbb{R}$;
  • Функция возрастает, так как $2 > 1$;

  Таблица значений:

  $$\overline{)\begin{array}{cccc}x& 1& 2& 8\\ y& 0& 1& 2\end{array}}$$

• Ответ:

  $$D(x) = (0; +\infty), \quad E(y) = [0; +\infty);$$

  Возрастает на $(2; +\infty)$ и убывает на $(0; 2)$.

1) $y = |\log_3 x|$

Шаг 1: Анализ функции $\log_3 x$

• Это логарифмическая функция с основанием больше 1: $\log_3 x$.
• Логарифмическая функция определена только при положительных значениях аргумента:

  $$\Rightarrow D(x) = (0; +\infty)$$

• Значения логарифма могут быть любыми действительными числами:

  $$\Rightarrow E(y) = \mathbb{R}$$

• Поведение: функция возрастает, так как $3 > 1$.

Шаг 2: Построение таблицы значений

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 3 & 9 \\ \hline y = \log_3 x & 0 & 1 & 2 \\ \hline \end{array}$$

Также полезно помнить:

• $\log_3 \frac{1}{3} = -1$
• $\log_3 \frac{1}{9} = -2$

Шаг 3: Применение модуля $y = |\log_3 x|$

• Если $\log_3 x \geq 0$, то $|\log_3 x| = \log_3 x$
• Если $\log_3 x < 0$, то $|\log_3 x| = -\log_3 x$

Следовательно:

• График функции совпадает с обычной логарифмической на участке, где она ≥ 0 (то есть при $x \geq 1$)
• Отражается симметрично относительно оси абсцисс (оси $OX$) при $x < 1$

Шаг 4: График

• Левая часть (при $0 < x < 1$) отражается вверх
• Правая часть остаётся без изменений

Шаг 5: Ответ

$$D(x) = (0; +\infty), \quad E(y) = [0; +\infty)$$

Функция:

• Возрастает на $(1; +\infty)$
• Убывает на $(0; 1)$

2) $y = \log_3 |x|$

Шаг 1: Преобразование

• Под логарифмом — модуль: $|x|$
• Поэтому область определения: $|x| > 0 \Rightarrow x \ne 0$
• То есть:

  $$D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$

Шаг 2: Свойство чётности

$$y(-x) = \log_3 |-x| = \log_3 |x| = y(x) \Rightarrow \text{функция чётная}$$

График симметричен относительно оси $OY$

Шаг 3: Таблица значений (для положительных $x$)

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 3 & 9 \\ \hline y = \log_3 x & 0 & 1 & 2 \\ \hline \end{array}$$

Аналогичные значения при $x = -1, -3, -9$

Шаг 4: График

• Правая часть — стандартный логарифм
• Левая часть — зеркальное отражение этой кривой

Шаг 5: Ответ

$$D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty), \quad E(y) = (-\infty; +\infty)$$

Функция:

• Возрастает на $(0; +\infty)$
• Убывает на $(-\infty; 0)$

3) $y = \log_3 |3 — x|$

Шаг 1: Внутреннее преобразование

• Рассматриваем $|3 — x|$ как аргумент логарифма
• Требование: $|3 — x| > 0 \Rightarrow x \ne 3$
• Следовательно:

  $$D(x) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$$

Шаг 2: Представим в виде композиции

• Пусть $u = |3 — x|$, тогда $y = \log_3 u$
• $|3 — x|$ симметрично относительно прямой $x = 3$
• Это ось симметрии графика

Шаг 3: Таблица значений для $\log_3 x$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 3 & 9 \\ \hline y & 0 & 1 & 2 \\ \hline \end{array}$$

Подставим $x = 2, 1, 0 \Rightarrow |3 — x| = 1, 2, 3 \Rightarrow \log_3 1 = 0, \log_3 2, \log_3 3 = 1$

Аналогично: $x = 4, 5, 6 \Rightarrow |3 — x| = 1, 2, 3 \Rightarrow$ те же значения

Шаг 4: Построение

• Строим $y = \log_3 x$
• Зеркально отражаем относительно $OY$
• Сдвигаем на 3 единицы вправо (так как внутри модуля $3 — x$)

Шаг 5: Ответ

$$D(x) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty), \quad E(y) = (-\infty; +\infty)$$

Функция:

• Возрастает на $(3; +\infty)$
• Убывает на $(-\infty; 3)$

4) $y = |1 — \log_2 x|$

Шаг 1: Рассмотрим внутреннюю функцию $y = 1 — \log_2 x$

• Логарифм определён при $x > 0$, значит:

  $$D(x) = (0; +\infty)$$

Шаг 2: Таблица значений для $\log_2 x$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 8 \\ \hline \log_2 x & 0 & 1 & 3 \\ \hline 1 — \log_2 x & 1 & 0 & -2 \\ \hline |1 — \log_2 x| & 1 & 0 & 2 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 3: Анализ модуля

• Если $\log_2 x \leq 1$, тогда $1 — \log_2 x \geq 0 \Rightarrow y = 1 — \log_2 x$
• Если $\log_2 x > 1 \Rightarrow 1 — \log_2 x < 0$, берём противоположное:

  $$y = \log_2 x — 1$$

Следовательно:

• При $x < 2$: $y = 1 — \log_2 x$
• При $x > 2$: $y = \log_2 x — 1$
• В точке $x = 2$: $\log_2 x = 1 \Rightarrow y = 0$

Шаг 4: График

• Состоит из двух ветвей:
  • Левая ветвь убывает (до $x = 2$)
  • Правая ветвь возрастает (после $x = 2$)
• Минимум в точке $x = 2$, $y = 0$

Шаг 5: Ответ

$$D(x) = (0; +\infty), \quad E(y) = [0; +\infty)$$

Функция:

• Убывает на $(0; 2)$
• Возрастает на $(2; +\infty)$