ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 9 Алимов — Подробные Ответы

1)

$(\sqrt{8} — 3)(3 + 2\sqrt{2})$ $$= 3\sqrt{8} + 2\sqrt{16} — 9 — 6\sqrt{2}$$ $$= 3 \cdot 2\sqrt{2} + 2 \cdot 4 — 9 — 6\sqrt{2}$$ $$= 6\sqrt{2} + 8 — 9 — 6\sqrt{2} = -1$$

Ответ: рациональным.

2)

$(\sqrt{27} — 2)(2 — 3\sqrt{3})$ $$= 2\sqrt{27} — 3\sqrt{81} — 4 + 6\sqrt{3}$$ $$= 2 \cdot 3\sqrt{3} — 3 \cdot 9 — 4 + 6\sqrt{3}$$ $$= 6\sqrt{3} — 27 — 4 + 6\sqrt{3}$$ $$= 12\sqrt{3} — 31$$

Ответ: иррациональным.

3)

$(\sqrt{50} + 4\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$ $$= \sqrt{100} + 4\sqrt{4}$$ $$= 10 + 4 \cdot 2 = 10 + 8 = 18$$

Ответ: рациональным.

4)

$(5\sqrt{3} + \sqrt{27}) : \sqrt{3}$ $$= 5 + \sqrt{9} = 5 + 3 = 8$$

Ответ: рациональным.

5)

$(\sqrt{3} — 1)^2 + (\sqrt{3} + 1)^2$ $$= (3 — 2\sqrt{3} + 1) + (3 + 2\sqrt{3} + 1)$$ $$= 4 — 2\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3} = 8$$

Ответ: рациональным.

6)

$(5 — 2\sqrt{5} — 1)(2\sqrt{5} + 1)^2$ $$= (5 — 2\sqrt{5} + 1) — (4 \cdot 5 + 4\sqrt{5} + 1)$$ $$= 6 — 2\sqrt{5} — 21 — 4\sqrt{5}$$ $$= -15 — 6\sqrt{5}$$

Ответ: иррациональным.

1) $(\sqrt{8}-3)(3+2\sqrt{2})$

Раскрываем скобки, используя распределительное свойство:

$$(\sqrt{8}-3)(3+2\sqrt{2})=\sqrt{8}\cdot 3+\sqrt{8}\cdot 2\sqrt{2}-3\cdot 3-3\cdot 2\sqrt{2}$$

Вычисляем каждое слагаемое:

$$3\sqrt{8}+2\sqrt{16}-9-6\sqrt{2}$$

Заменяем корни:

$$3\cdot 2\sqrt{2}+2\cdot 4-9-6\sqrt{2}=6\sqrt{2}+8-9-6\sqrt{2}$$

Слагаемые с корнем взаимно уничтожаются:

$$8-9=-1$$

Ответ: число рациональное.

2) $(\sqrt{27}-2)(2-3\sqrt{3})$

Раскрываем скобки:

$$\sqrt{27}\cdot 2+\sqrt{27}\cdot (-3\sqrt{3})-2\cdot 2-2\cdot (-3\sqrt{3})$$

$$=2\sqrt{27}-3\sqrt{81}-4+6\sqrt{3}$$

Подставляем значения корней:

$$2\cdot 3\sqrt{3}-3\cdot 9-4+6\sqrt{3}$$

$$=6\sqrt{3}-27-4+6\sqrt{3}$$

$$=12\sqrt{3}-31$$

Так как $12\sqrt{3}$иррационально, то всё выражение тоже иррационально.
Ответ: число иррациональное.

3) $(\sqrt{50}+4\sqrt{2})\cdot \sqrt{2}$

Раскрываем скобки:

$$\sqrt{50}\cdot \sqrt{2}+4\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}$$

$$=\sqrt{100}+4\sqrt{4}$$

$$=10+4\cdot 2=10+8=18$$

Ответ: число рациональное.

4) $(5\sqrt{3}+\sqrt{27}):\sqrt{3}$

Разделяем на $\sqrt{3}$:

$$\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$$

$$=5+\sqrt{\frac{27}{3}}$$

$$=5+\sqrt{9}=5+3=8$$

Ответ: число рациональное.

5) $(\sqrt{3}-1{)}^2+(\sqrt{3}+1{)}^2$

Используем формулу квадрата суммы:

$$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2,(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$$

$$(\sqrt{3}-1{)}^2=3-2\sqrt{3}+1$$

$$(\sqrt{3}+1{)}^2=3+2\sqrt{3}+1$$

Складываем:

$$(3-2\sqrt{3}+1)+(3+2\sqrt{3}+1)$$

$$=4-2\sqrt{3}+4+2\sqrt{3}$$

$$=8$$

Ответ: число рациональное.

6) $(\sqrt{5}-1{)}^2-(2\sqrt{5}+1{)}^2$

Используем формулу квадрата разности:

$$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$$

$$(\sqrt{5}-1{)}^2=5-2\sqrt{5}+1=6-2\sqrt{5}$$

$$(2\sqrt{5}+1{)}^2=4\cdot 5+4\sqrt{5}+1=20+4\sqrt{5}+1=21+4\sqrt{5}$$

Вычитаем:

$$(6-2\sqrt{5})-(21+4\sqrt{5})$$

$$=6-2\sqrt{5}-21-4\sqrt{5}$$

$$=-15-6\sqrt{5}$$

Так как $6\sqrt{5}$иррационально, то всё выражение тоже иррационально.
Ответ: число иррациональное.