ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 760 Алимов — Подробные Ответы

Выяснить, является ли данная функция чётной или нечётной:

1. y = х2 + cos х;
2. у = х3 — sin х;
3. у = (1 — х2) cos х;
4. у = (1 + sin х) sin х.

1. $y = x^2 + \cos x$;
   $y(-x) = (-x)^2 + \cos(-x) = x^2 + \cos x = y(x)$;
   Ответ: четная.
2. $y = x^3 — \sin x$;
   $y(-x) = (-x)^3 — \sin(-x) = -x^3 + \sin x = -y(x)$;
   Ответ: нечетная.
3. $y = (1 — x^2) \cdot \cos x$;
   $y(-x) = (1 — (-x)^2) \cdot \cos(-x) = (1 — x^2) \cdot \cos x = y(x)$;
   Ответ: четная.
4. $y = (1 + \sin x) \cdot \sin x$;
   $y(-x) = (1 + \sin(-x)) \cdot \sin(-x) = (1 — \sin x) \cdot (-\sin x)$;
   Ответ: ни четная, ни нечетная.

Вспомним определения:

• Чётная функция:
  Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для всех $x$ из области определения выполняется

$$f(-x) = f(x).$$

График чётной функции симметричен относительно оси $Oy$.

• Нечётная функция:
  Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если для всех $x$ из области определения выполняется

$$f(-x) = -f(x).$$

График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

• Если ни одно из условий не выполняется, функция ни чётная, ни нечётная.

1) $y = x^2 + \cos x$

Шаг 1: Найдём $y(-x)$:

$$y(-x) = (-x)^2 + \cos(-x).$$

Шаг 2: Используем свойства степеней и косинуса:

$$(-x)^2 = x^2,$$ $$\cos(-x) = \cos x,$$

поскольку косинус — чётная функция.

Шаг 3: Подставляем:

$$y(-x) = x^2 + \cos x.$$

Шаг 4: Сравниваем с $y(x) = x^2 + \cos x$:

$$y(-x) = y(x).$$

Вывод: функция чётная.

2) $y = x^3 — \sin x$

Шаг 1: Найдём $y(-x)$:

$$y(-x) = (-x)^3 — \sin(-x).$$

Шаг 2: Используем свойства степеней и синуса:

$$(-x)^3 = -x^3,$$ $$\sin(-x) = -\sin x,$$

поскольку синус — нечётная функция.

Шаг 3: Подставляем:

$$y(-x) = -x^3 — (-\sin x) = -x^3 + \sin x.$$

Шаг 4: Сравниваем с $y(x) = x^3 — \sin x$:

$$y(-x) = -x^3 + \sin x = — (x^3 — \sin x) = -y(x).$$

Вывод: функция нечётная.

3) $y = (1 — x^2) \cdot \cos x$

Шаг 1: Найдём $y(-x)$:

$$y(-x) = (1 — (-x)^2) \cdot \cos(-x).$$

Шаг 2: Вычислим части выражения:

$$(-x)^2 = x^2,$$ $$\cos(-x) = \cos x.$$

Шаг 3: Подставляем:

$$y(-x) = (1 — x^2) \cdot \cos x.$$

Шаг 4: Сравниваем с $y(x)$:

$$y(-x) = y(x).$$

Вывод: функция чётная.

4) $y = (1 + \sin x) \cdot \sin x$

Шаг 1: Найдём $y(-x)$:

$$y(-x) = (1 + \sin(-x)) \cdot \sin(-x).$$

Шаг 2: Используем нечётность синуса:

$$\sin(-x) = -\sin x,$$

следовательно

$$y(-x) = (1 — \sin x) \cdot (-\sin x) = -\sin x + \sin^2 x.$$

Шаг 3: Запишем $y(x)$:

$$y(x) = (1 + \sin x) \cdot \sin x = \sin x + \sin^2 x.$$

Шаг 4: Сравним $y(-x)$ и $y(x)$:

$$y(-x) = -\sin x + \sin^2 x,$$ $$y(x) = \sin x + \sin^2 x.$$

Шаг 5: Проверяем равенства

• $y(-x) \neq y(x)$ (не чётная),
• $y(-x) \neq -y(x)$ (не нечётная).

Вывод: функция ни чётная, ни нечётная.