ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 836 Алимов — Подробные Ответы

1. sin x + x2;
2. cos x — i;
3. cos x + ex;
4. sin x — 2x.

1. $f(x) = \sin x + x^2$;
   $f'(x) = (\sin x)’ + (x^2)’ = \cos x + 2x$;
2. $f(x) = \cos x — 1$;
   $f'(x) = (\cos x)’ — (1)’ = -\sin x — 0 = -\sin x$;
3. $f(x) = \cos x + e^x$;
   $f'(x) = (\cos x)’ + (e^x)’ = -\sin x + e^x$;
4. $f(x) = \sin x — 2^x$;
   $f'(x) = (\sin x)’ — (2^x)’ = \cos x — 2^x \cdot \ln 2$

1) $f(x) = \sin x + x^2$

Нам нужно найти производную функции $f(x) = \sin x + x^2$. Для этого используем основные правила дифференцирования.

Шаг 1: Применяем правило суммы

Производная от суммы функций равна сумме производных этих функций. То есть:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sin x \right) + \frac{d}{dx} \left( x^2 \right)$$

Шаг 2: Дифференцируем $\sin x$

Производная от $\sin x$ по $x$ известна:

$$\frac{d}{dx} \left( \sin x \right) = \cos x$$

Шаг 3: Дифференцируем $x^2$

Производная от $x^2$ по $x$ также известна и вычисляется с использованием стандартного правила дифференцирования степенной функции:

$$\frac{d}{dx} \left( x^2 \right) = 2x$$

Шаг 4: Составляем полное выражение

Теперь, комбинируем результаты:

$$f'(x) = \cos x + 2x$$

2) $f(x) = \cos x — 1$

Для этой функции также воспользуемся стандартными правилами дифференцирования.

Шаг 1: Применяем правило суммы

Производная от разности функций равна разности производных этих функций:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \cos x \right) — \frac{d}{dx} \left( 1 \right)$$

Шаг 2: Дифференцируем $\cos x$

Производная от $\cos x$ по $x$ известна:

$$\frac{d}{dx} \left( \cos x \right) = -\sin x$$

Шаг 3: Дифференцируем $1$

Производная от константы $1$ по $x$ равна нулю:

$$\frac{d}{dx} \left( 1 \right) = 0$$

Шаг 4: Составляем полное выражение

Теперь, комбинируем результаты:

$$f'(x) = -\sin x — 0 = -\sin x$$

3) $f(x) = \cos x + e^x$

Для этой функции применим те же правила дифференцирования.

Шаг 1: Применяем правило суммы

Производная от суммы функций равна сумме производных этих функций:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \cos x \right) + \frac{d}{dx} \left( e^x \right)$$

Шаг 2: Дифференцируем $\cos x$

Производная от $\cos x$ по $x$ уже известна:

$$\frac{d}{dx} \left( \cos x \right) = -\sin x$$

Шаг 3: Дифференцируем $e^x$

Производная от экспоненциальной функции $e^x$ по $x$ равна самой функции:

$$\frac{d}{dx} \left( e^x \right) = e^x$$

Шаг 4: Составляем полное выражение

Теперь, комбинируем результаты:

$$f'(x) = -\sin x + e^x$$

4) $f(x) = \sin x — 2^x$

Здесь нам нужно применить правило разности и дифференцировать два выражения: $\sin x$ и $2^x$.

Шаг 1: Применяем правило разности

Производная от разности функций равна разности производных этих функций:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sin x \right) — \frac{d}{dx} \left( 2^x \right)$$

Шаг 2: Дифференцируем $\sin x$

Производная от $\sin x$ по $x$ известна:

$$\frac{d}{dx} \left( \sin x \right) = \cos x$$

Шаг 3: Дифференцируем $2^x$

Для дифференцирования $2^x$ используем правило дифференцирования экспоненциальных функций с основанием $a^x$, где $a$ — основание:

$$\frac{d}{dx} \left( 2^x \right) = 2^x \cdot \ln 2$$

Это правило основывается на том, что производная экспоненциальной функции $a^x$ равна $a^x \ln a$, где $a$ — основание экспоненты.

Шаг 4: Составляем полное выражение

Теперь, комбинируем результаты:

$$f'(x) = \cos x — 2^x \cdot \ln 2$$$f'(x) = \cos x — 2^x \cdot \ln 2$