ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 670 Алимов — Подробные Ответы

1. 1 + 2 sin x = sin 2x + 2 cos x;
2. 1 + 3 cos x = sin 2x + 3 sin x.

$1 + 2 \sin x = \sin 2x + 2 \cos x$;
$\cos^2 x + \sin^2 x + 2 \sin x = 2 \sin x \cdot \cos x + 2 \cos x$;
$(\cos^2 x + \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x) + (2 \sin x — 2 \cos x) = 0$;
$(\cos x — \sin x)^2 — 2(\cos x — \sin x) = 0$;
$(\cos x — \sin x)(\cos x — \sin x — 2) = 0$;

Первое уравнение:
$\cos x — \sin x = 0 \quad | : \cos x$;
$1 — \operatorname{tg} x = 0$;
$\operatorname{tg} x = 1$;
$x = \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$;

Второе уравнение:
$\cos x — \sin x — 2 = 0$;
$\cos x — \sin x = 2$ — корней нет;

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n$.

$1 + 3 \cos x = \sin 2x + 3 \sin x$;
$\cos^2 x + \sin^2 x + 3 \cos x = 2 \sin x \cdot \cos x + 3 \sin x$;
$(\cos^2 x + \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x) + (3 \cos x — 3 \sin x) = 0$;
$(\cos x — \sin x)^2 + 3(\cos x — \sin x) = 0$;
$(\cos x — \sin x)(\cos x — \sin x + 3) = 0$;

Первое уравнение:
$\cos x — \sin x = 0 \quad | : \cos x$;
$1 — \operatorname{tg} x = 0$;
$\operatorname{tg} x = 1$;
$x = \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$;

Второе уравнение:
$\cos x — \sin x + 3 = 0$;
$\cos x — \sin x = -3$ — корней нет;

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n$.

1) Уравнение:

$$1 + 2 \sin x = \sin 2x + 2 \cos x.$$

Шаг 1: Приведение к базовым тригонометрическим выражениям.

Вспомним, что $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$. Подставим:

$$1 + 2 \sin x = 2 \sin x \cos x + 2 \cos x.$$

Шаг 2: Переносим все слагаемые в левую часть, чтобы получить равенство нулю:

$$1 + 2 \sin x — 2 \sin x \cos x — 2 \cos x = 0.$$

Шаг 3: Используем тригонометрическое тождество:

$$1 = \sin^2 x + \cos^2 x.$$

Подставим вместо 1:

$$\sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x — 2 \sin x \cos x — 2 \cos x = 0.$$

Шаг 4: Группируем выражение:

$$(\sin^2 x + \cos^2 x — 2 \sin x \cos x) + (2 \sin x — 2 \cos x) = 0.$$

Шаг 5: Заметим квадрат разности:

$$(\cos x — \sin x)^2 = \cos^2 x — 2 \cos x \sin x + \sin^2 x.$$

Значит,

$$(\cos x — \sin x)^2 + 2(\sin x — \cos x) = 0.$$

Перепишем вторую скобку, вынесем минус:

$$(\cos x — \sin x)^2 — 2(\cos x — \sin x) = 0.$$

Шаг 6: Введём замену:

Пусть

$$t = \cos x — \sin x.$$

Тогда уравнение примет вид:

$$t^2 — 2 t = 0.$$

Шаг 7: Решаем квадратное уравнение:

$$t^2 — 2 t = 0 \implies t(t — 2) = 0.$$

Значит, либо

$$t = 0,$$

либо

$$t = 2.$$

Шаг 8: Анализ первого уравнения $t = 0$:

$$\cos x — \sin x = 0.$$

Переносим:

$$\cos x = \sin x.$$

Шаг 9: Делим обе части на $\cos x$ (если $\cos x \neq 0$):

$$1 = \tan x.$$

Шаг 10: Решаем уравнение:

$$\tan x = 1.$$

Общее решение тангенса:

$$x = \arctan 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Шаг 11: Анализ второго уравнения $t = 2$:

$$\cos x — \sin x = 2.$$

Шаг 12: Проверка возможности решения.

Максимальное значение выражения $\cos x — \sin x$ можно найти, используя формулу:

$$\max |\cos x — \sin x| = \sqrt{(\cos x)^2 + (-\sin x)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \approx 1.414.$$

Но $2 > \sqrt{2}$, значит уравнение

$$\cos x — \sin x = 2$$

не имеет действительных решений.

Шаг 13: Итог для пункта 1:

Единственным решением уравнения является

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

2) Уравнение:

$$1 + 3 \cos x = \sin 2x + 3 \sin x.$$

Шаг 1: Подставляем формулу двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$$1 + 3 \cos x = 2 \sin x \cos x + 3 \sin x.$$

Шаг 2: Переносим всё в левую часть:

$$1 + 3 \cos x — 2 \sin x \cos x — 3 \sin x = 0.$$

Шаг 3: Используем тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$:

$$\sin^2 x + \cos^2 x + 3 \cos x — 2 \sin x \cos x — 3 \sin x = 0.$$

Шаг 4: Группируем:

$$(\cos^2 x + \sin^2 x — 2 \sin x \cos x) + (3 \cos x — 3 \sin x) = 0.$$

Шаг 5: Заменяем первую группу квадратом разности:

$$(\cos x — \sin x)^2 + 3 (\cos x — \sin x) = 0.$$

Шаг 6: Вводим замену:

$$t = \cos x — \sin x,$$

тогда

$$t^2 + 3 t = 0,$$

или

$$t(t + 3) = 0.$$

Шаг 7: Решаем полученные уравнения:

• Первое:

$$t = 0 \implies \cos x — \sin x = 0,$$

то есть

$$\tan x = 1,$$

с решением

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

• Второе:

$$t + 3 = 0 \implies \cos x — \sin x = -3.$$

Шаг 8: Проверяем возможность второго уравнения.

Максимальное значение $|\cos x — \sin x| = \sqrt{2} \approx 1.414$, а $-3$ по абсолютной величине больше максимума, значит решений нет.

Шаг 9: Итог для пункта 2:

Решение только одно:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Итог:

$$\boxed{ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} }$$

— решение обоих уравнений.