ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 438 Алимов — Подробные Ответы

Найти значение выражения:

1. sin пи/4*cos пи/4 — sin пи/3*cos пи/6;
2. 2tg^2 пи/3 — ctg^2 пи/6 — sin пи/6* cos пи/3;
3. (tg пи/4 — ctg пи/3) ( ctg пи/4 + tg пи/6);
4. 2cos^2 пи/6 — sin^2 пи/3 + tg пи/6* ctg пи/3.

$\mathrm{1.\; sin}\frac{\pi }{4}\cdot \cos \frac{\pi }{4}-\sin \frac{\pi }{3}\cdot \cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2}{4}-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}=-0,25$

$\mathrm{2.\; 2}{\mathrm{tg}}^2\frac{\pi }{3}-{\mathrm{ctg}}^2\frac{\pi }{6}-\sin \frac{\pi }{6}\cdot \cos \frac{\pi }{3}=2\cdot (\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=$

$=2\cdot 3-3-\frac{1}{4}=3-\frac{1}{4}=3-0,25=2,75$

$3.\; (\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}-\mathrm{ctg}\frac{\pi }{3})(\mathrm{ctg}\frac{\pi }{4}+\mathrm{tg}\frac{\pi }{6})=(1-\frac{1}{\sqrt{3}})(1+\frac{1}{\sqrt{3}})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

$\mathrm{4.\; 2}{\cos }^2\frac{\pi }{6}-{\sin }^2\frac{\pi }{3}+\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}\cdot \mathrm{ctg}\frac{\pi }{3}=2\cdot {\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=$

$=2\cdot \frac{3}{4}-\frac{3}{4}+\frac{1}{3}=\frac{3}{4}+\frac{1}{3}=\frac{9}{12}+\frac{4}{12}=\frac{13}{12}=1\frac{1}{12}$

1) $\sin \frac{\pi }{4}\cdot \cos \frac{\pi }{4}-\sin \frac{\pi }{3}\cdot \cos \frac{\pi }{6}$

Шаг 1: Найдём значения тригонометрических функций для данных углов.

• $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 2: Подставим значения:

$$\sin \frac{\pi }{4}\cdot \cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2\cdot 2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Внимание! В исходном выражении написано $\frac{2}{4}$, что равно $\frac{1}{2}$, а не $\frac{1}{4}$. Значит ошибка в исходном тексте!

Проверим вторую часть:

$$\sin \frac{\pi }{3}\cdot \cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}$$

Шаг 3: Вычитаем:

$$\frac{1}{2}-\frac{3}{4}=\frac{2}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}=-\mathrm{0,25}$$

2) $2{\mathrm{tg}}^2\frac{\pi }{3}-{\mathrm{ctg}}^2\frac{\pi }{6}-\sin \frac{\pi }{6}\cdot \cos \frac{\pi }{3}$

Шаг 1: Найдём значения:

• $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$
• ${\mathrm{tg}}^2\frac{\pi }{3}=(\sqrt{3}{)}^2=3$
• $\mathrm{ctg}\frac{\pi }{6}=\sqrt{3}$
• ${\mathrm{ctg}}^2\frac{\pi }{6}=3$
• $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$
• $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$

Шаг 2: Подставим:

$$2\cdot 3-3-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=6-3-\frac{1}{4}$$

Шаг 3: Вычислим:

$$6-3=3$$$$3-\frac{1}{4}=\frac{12}{4}-\frac{1}{4}=\frac{11}{4}=\mathrm{2,75}$$

3) $(\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}-\mathrm{ctg}\frac{\pi }{3})(\mathrm{ctg}\frac{\pi }{4}+\mathrm{tg}\frac{\pi }{6})$

Шаг 1: Найдём значения:

• $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$
• $\mathrm{ctg}\frac{\pi }{3}=\frac{1}{\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
• $\mathrm{ctg}\frac{\pi }{4}=1$
• $\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Шаг 2: Подставим:

$$(1-\frac{1}{\sqrt{3}})(1+\frac{1}{\sqrt{3}})$$

Шаг 3: Раскроем скобки по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$$1^2-{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^2=1-\frac{1}{3}=\frac{3}{3}-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$

4) $2{\cos }^2\frac{\pi }{6}-{\sin }^2\frac{\pi }{3}+\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}\cdot \mathrm{ctg}\frac{\pi }{3}$

Шаг 1: Найдём значения:

• $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
• ${\cos }^2\frac{\pi }{6}={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}$
• $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
• ${\sin }^2\frac{\pi }{3}=\frac{3}{4}$
• $\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
• $\mathrm{ctg}\frac{\pi }{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Шаг 2: Подставим в выражение:

$$2\cdot \frac{3}{4}-\frac{3}{4}+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{6}{4}-\frac{3}{4}+\frac{1}{3}$$

Шаг 3: Вычислим сумму:

$$\frac{6}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$$$$\frac{3}{4}+\frac{1}{3}=\frac{9}{12}+\frac{4}{12}=\frac{13}{12}$$

Шаг 4: Представим в смешанном виде:

$$\frac{13}{12}=1\frac{1}{12}$$